Exercícios Resolvidos de Reflexão e Inversão de Pulsos em Corda

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Enunciado

Um pulso que se propaga com velocidade de v = 30 m/s numa corda de comprimento L   =   2 00   m com a extremidade x = L fixa é descrito pela função y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 , onde y 0 = 15 cm e a = 8,0 m - 3 . A função que representa o pulso refletido em um instante t logo após sua primeira reflexão em x = L é:

a)   y x , t - y 0 e - ln ⁡ a x + v t + 2 L 3

b)   y x , t y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

c)   y x , t = - y 0 e - b ( L - x - v t ) 3

d)   y x , t - y 0 e ln ⁡ a x + v t - 2 L 3

e)   y x , t - y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

Passo 1

Antes de sair explicando, um parênteses....(expressão um pouco assustadora essa y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 , né?)

Bom, mas não se assuste, jovem...Vamos ver que a questão é bem tranquilinha

Vamos chamar a nossa onda assustadora y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 de uma f ( x - v t ) . Por que isso? Só porque identificamos esse termo na expressão, beleza?

Show de bola...Sendo assim, a onda refletia será uma função g ( x + v t ) , certo? Uma função de onda qualquer, mas com sinal positivo no v t porque ela ta se propagando no sentido contrário da onda original.

A onda que tá se propagando na corda é do tipo:

y x , t = g x + v t + f ( x - v t )

Veja que antes da reflexão do pulso:

g x + v t = 0

Então:

y x , t = f ( x - v t )

Beleza! Como a extremidade L é fixa, vamos ter, depois da reflexão:

y L , t = g L + v t + f L - v t = 0

f L - v t = - g L + v t

E eu quero achar g ( x + v t ) , a onda refletida!

Show! Agora eu vou usar uma variável auxiliar aqui:

x * = x + v t

Com essa variável eu posso escrever:

f - x * + 2 L = - g x *

Porque, quando x = L :

x * = L + v t

- x * + 2 L = - L - v t + 2 L = L - v t

Então:

f - x - v t + 2 L = - g x + v t

g x + v t = - f - x - v t + 2 L

E como:

f x - v t = y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3

- f - x - v t + 2 L = - y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

g x + v t = - y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

Então a equação do pulso refletido vai ser:

y x , t - y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

Resposta

Letra E.

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