Séries de Potência, Integração e derivação termo a termo e Séries de Taylor
a)Determine a expansão em série de potências em torno de da função e encontre os valores de para os quais a expansão é válida
b)Calcule a integral
com erro menor que
Passo 1
a)
Vamos pensar um pouco nesse logaritmo como uma função que é mais fácil de achar a expansão dela em série de potências, a gente sabe a integral que da um logaritmo:
Se a gente botar os limites que encontrem a nossa função, tá tudo certo, então olha ae:
Passo 2
Opa, olhando a cara de , lembramos muito da série geométrica, que da , vamos ver isso aqui, calma!
Série geométrica:
Então ok, vamos adotar como , logo o intervalo de convergência fica
Assim: ,e a série fica:
Então ficou assim:
Passo 3
Show! Achamos uma boa relação! Agora temos só que integrar esse cara!
Assim fica:
Perceba que o intervalo de convergência se manteve, ele é preservado na integração. Agora o ponto é, diferente da série geométrica, não podemos dizer o que acontece nos limites do intervalo, ou seja, quanto e , mas percebe que está elevado a uma potência quadrática, ou seja, tanto para quando para o
Passo 4
e
A série fica:
É uma série alternada, logo, pelo critério de Leibniz:
E é decrescente, logo a série é convergente! E assim sabemos que:
Mas enfim, então descobrimos que o intervalo de convergência é
Passo 5
b) Perceba que a integral tem o limite de integração , e isso , ou seja, podemos aproveitar o resultado da letra a)
Assim ficou:
É uma série alternada, que tem a seguinte característica:
Ou seja, ela é decrescente, e é fácil de ver que ela tende a quando , assim, concluímos que essa é uma série convergente! Então podemos usar a estimativa de erro para uma série alternada:
Onde representa a série infinita e representa a série truncada até o termo .
Assim:
Ajeitando:
Agora tem que ser no teste!
Para já temos a relação satisfeita Então ficou: