Integração e Derivação termo a termo e Séries de Taylor
- Escreva
Como soma de uma série numérica.
- Obtenha um valor aproximado de
Como soma de uma série numérica.
Com erro inferior e
Passo 1
a)
Bem, ele quer essa integral como série numérica, e agora? Uma coisa que podemos fazer é escrever aquela expressão dentro como uma série numérica e depois integrar a série que achamos.
Beleza, então queremos na verdade escrever a seguinte função como série numérica
Para escrever uma função como série numérica usamos séries de potências, na verdade a série de Taylor. Essa função é meio bizarra de derivar então tentar fazer dessa forma não é a mais interessante.
Mas e agora o que fazer? Olha a “coincidência”, aquela função , lembra uma série geométrica.
A série geométrica é
E como coloquei ali, sabemos o valor da série geométrica. Lembre-se que esse valor só vale para
Isso não foi nada coincidência, ele colocou aquela função assim de proposito, porque assim podemos fazer uma série para , usando algo parecido com a série geométrica.
Passo 2
Vamos aqui escrever a nossa série, para isso vamos comparar o resultado da série geométrica com a função que tínhamos
E
Queremos algo com no denominador, vamos dar uma arrumada
Assim na verdade temos uma série de potência assim
Nesse caso vamos ter
E
E vamos ter
Dando uma arrumada temos
Lembrando que devemos ter
Isso nos diz que essa série vale para
Passo 3
Vamos agora para a integral, temos que
Podemos fazer isso porque ele quer a integral no intervalo de
E vimos que essa série que fizemos no passo vale para , o intervalo que está a integral está nesse intervalo.
Vamos fazer aquela integral
E a nossa integral vai ficar
Achamos a nossa série.
Passo 4
b)
Agora ele quer o valor aproximado da integral.
Para isso temos que pegar uma parte daquele somatório, ou seja, o truncamento dele, seria
Mas não sabemos quem é aquele . Mas ele disse o valor do erro, precisa ser menor que .
Temos uma série alternada, então vamos usar o erro pelo critério de Liebniz.
Esse é o termo geral em da nossa série
Vamos ter
Basta fazer aquele termo ali que achamos com ser menor que que o nosso erro vai ser menor também.
Queremos
Então
Aqui vai na tentativa e erro
Beleza, então basta pegar
Passo 5
Agora que sabemos o valor de , vamos ter