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Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

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Exercício 5123467891011

Enunciado

Integração e Derivação termo a termo e Séries de Taylor

Usando série de Taylor, obtenha um valor aproximado de e 1 / 3 com erro inferior a 10 - 4 .

Passo 1

Bem aqui ele quer calcular o valor de e elevando a alguém, nada mais justo que calcular a série de Taylor para a função

f x = e x

Em torno do ponto x = 0 , isso porque o valor que ele pediu é razoavelmente perto de 0 .

Depois nos preocupamos com o erro, primeiro vamos achar a série de Taylor.

Começando achando as derivadas

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

Então

f n x = e x

Assim vamos ter

f n 0 = 1

Passo 2

Vamos à série

e x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Ele quer isso com x = 1 / 3

e 1 / 3 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 3 n n !

e 1 / 3 = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n n !

Para aproximarmos isso temos que fazer

e 1 / 3 ≅ ∑ n = 0 k 1 3 n n !

E o erro vai ser

e r r o = e 1 / 3 - ∑ n = 0 k 1 3 n n !

Não podemos usar o critério de Leibniz nesse caso porque não temos uma série alternada.

Podemos perceber que esse erro vai ser

e r r o = ∑ n = k + 1 ∞ 1 3 n n !

Repara que quanto maior o n vai se tornando menor vai ser o termo dessa série, então vamos ter

∑ n = k + 1 ∞ 1 3 n n ! < ∑ n = k + 1 ∞ 1 3 n k + 1 !

Podemos tirar aquele k + 1 ! daquele somatório, tendo

e r r o < 1 k + 1 ! ∑ n = k + 1 ∞ 1 3 n

Aquele somatório é uma série geométrica, só que ele não começa com n = 0 , vamos dar uma arrumada para isso acontecer, para isso vamos fazer

n = n - + k + 1

E n - vai ser o nosso novo índice. Assim a série vai ficar

∑ n - = 0 ∞ 1 3 n - + k + 1 = ∑ n - = 0 ∞ 1 3 n - 3 k + 1

Podemos tirar 3 k + 1 do somatório

1 3 k + 1 ∑ n - = 0 ∞ 1 3 n - = 1 3 k + 1 ∑ n - = 0 ∞ 1 3 n -

Isso é uma série geométrica, que vai para 1 1 - 1 3

Então vamos ter

e r r o < 1 k + 1 ! 1 3 k + 1 1 1 - 1 3

e r r o < 1 k + 1 ! 1 3 k + 1 3 2  

e r r o < 1 2 . 3 k k + 1 !  

Passo 3

Vamos analisar esse erro que achamos

e r r o < 1 2 . 3 k k + 1 !  

Ele quer que esse valor seja menor que 10 - 4 , para isso é só fazer

e r r o < 1 2 . 3 k k + 1 ! < 10 - 4

Temos que achar um k que faça aquilo ser verdade

1 2 . 3 k k + 1 ! < 10 - 4

Então

2 . 3 k k + 1 ! > 10 4

Vamos testando até achar um

k = 0 → 2 < 10 4

k = 1 → 2.3 . 2 ! = 6 < 10 4

k = 2 → 2.3 2 3 ! = 2.9 . 6 = 108 < 10 4

k = 3 → 2.3 3 4 ! = 2.27.24 = 1296 < 10 4

k = 4 → 2.3 4 5 ! = 2.81.120 = 97440 > 10 4

Então temos k = 4

Passo 4

Vimos que basta pegar k = 4 , então

e 1 / 3 ≅ ∑ n = 0 4 1 3 n n ! = 1 3 0 0 ! + 1 3 1 1 ! + 1 3 2 2 ! + 1 3 3 3 ! + 1 3 4 4 !

e 1 / 3 ≅ 1 + 1 3 + 1 18 + 1 162 + 1 1944

e 1 / 3 ≅ 1944 + 648 + 108 + 12 + 1 1944

e 1 / 3 ≅ 2713 1944

Resposta

e 1 / 3 ≅ 2713 1944

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