Questão discursiva – UFJF – equações diferenciais I – AV1 – questão 1
Considere a sequencia cujo termo geral é dado por
- Mostre que a série é convergente.
- Ao aproximarmos a soma de série usado os seus dez primeiros termos, estime o erro envolvido nesta aproximação.
- Baseado no item acima determine quanto termos são necessários para garantir que a aproximação tenha um erro menor que .
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?
A questão nos dá uma sequência, e pede para nós obtermos algumas informações a respeito desta série, como por exemplo se ela converge ou não, se somarmos os primeiros termos dela qual será o erro. Mas deve estar se pensando o que é a convergência de uma sequência, e como calcular isso, e também com calcular o erro estimado.
Convergência é quando a série mesmo indo para infinito ainda tem um valor exato. É mais fácil explicando quando ela não tem um valor exato, como quando temos , isto é impossível, e por não ser um valor é chamado de divergência, o contrário da convergência. Mas como que eu analiso isso?
Intuitivamente devemos elevar o a sequência para uma série de termos infinitos, e ver se ela indo para o infinito converge ou não. No nosso caso, podemos usar um teorema muito importante, que é chamado de teorema das séries alternadas. Ele consiste basicamente em: se uma série é alternada, ou seja, alterna entre positivos e negativos, e obedecer a ou seja, seu termo atual é maior ou igual ao próximo, e também o seu limite tendendo ao infinito for 0, então essa série é divergente.
Mas sobre o erro estimado ao fazermos a soma da série?
O calculo do erro estimado ao somarmos uma série é dador por:
Sendo a N-ésima soma, e a série e o erro estimado associado.
Espero que tenha conseguido compreender, de qualquer forma estou no próximo passo te esperando.
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Então para a)
Então sabemos que é uma série alternada, sendo , então podemos aplicar o teorema das séries alternadas. Então primeiro, vamos ver se , podemos fazer por exemplo para , logo . Assim, se:
Ou seja, se a diferença entre o termo atual e seu próximo for maior que , significa que o termo atual é maior que o próximo. Logo:
E de fato esse resultado é maior que . Portanto . Agora temos que ver se o limite com no infinito é . Assim:
Podemos substituir e dividir por , e teremos:
Se vai para infinito então concorda comigo que ? Afinal se um numero é dividido por um muito maior que ele, ele obviamente será muito pequeno, e se esse for muito grande ainda (muito mesmo) o resultado vai praticamente para . Assim:
E você concorda que se um numero é muito grande (muito mesmo) um numero pequeno não faz diferença para ele. Por exemplo, o que 2 somaria à 1 trilhão? Nada, praticamente. Agora imagina um infinito como que seria? Isso mesmo, nada!! Assim sendo . Logo temos:
E pelo mesmo motivo que demos antes, de dividir um número por um muito maior, concluímos que:
E, portanto:
E vemos que ambos as imposições para o teorema das séries alternadas foram confirmadas, portanto a série é sim convergente.
Passo 3
Para b)
Temos então
É nos dito que , assim:
E assim:
E para o próximo para o é fazermos o inverso disso.
Passo 4
Para c)
Aplicando a mesma fórmula:
Substituindo . Então, até que termo temos que somar para obter um erro menor que ? Bom, fazendo:
Multiplicando e dividindo por :
Abrindo:
Deixando tudo do mesmo lado:
Fazendo essa conta, que não é fácil, obtemos:
Mas lembre-se, o resto é com relação à então vemos que , então temos que somar até o termo para obtermos um erro estimado de
E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!
Resposta
Para a: provado no passo 2
Para b:
Para c)