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Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

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Exercício 512346789101112

Enunciado

Passo 1

Sim, parece que ele está querendo complicar de mais, mas vamos tentar entender o que ele quer agora.

Encontrar a curva ortogonal, significa encontrar aquela que é perpendicular à nossa família de curvas. Para isso, precisamos começar determinando o coeficiente angular da nossa curva, a derivada.

y = c x 2

Derivando teremos

y ' =   2 c x

Podemos substituir

c = y / x 2

E ficamos com

y ' = 2 y x x 2

y ' = 2 y x

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvar ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90°C com as nossas curvas iniciais. Então, vamos fazer

y ' = - 1 2 y x

Ou seja

y ' = - x 2 y

Passo 3

Perceba que agora chegamos em uma EDO separável, e basta integrar dos dois lados para encontrar a nossa curva.

y ' = - x / 2 y

d y d x = - x 2 y

2 y   d y = - x   d x

Ficamos com

2 ∫ y   d y = - ∫ x   d x

Integrando

y 2 = - x 2 2 + C

Rearranjando

x 2 + 2 y 2 = C

Note que teríamos constantes de integração dos dois lados mas podemos juntar as duas em C para facilitar nossa vida.

Resposta

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