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Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

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Exercício 812345679101112

Enunciado

Passo 1

Calma! Eu sei que parece algo bem complicado, mas vamos tentar entender qual a moda que ele está inventando agora. Encontrar a curva ortogonal, significa encontrar aquela que é perpendicular à nossa família de curvas. Para isso, precisamos começar determinando o coeficiente angular da nossa curva, a derivada.

x 2 + 4 y 2 = c

Derivando teremos

2 x + 8 y d y d x = 0

Rearranajando ficamos com

d y d x = - 2 x 8 y = - x 4 y

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvar ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90°C com as nossas curvas iniciais. Então, vamos fazer

d y d x = - 1 - x 4 y

Ou seja

d y d x = 4 y x

Passo 3

Perceba que agora chegamos em uma EDO separável, e basta integrar dos dois lados para encontrar a nossa curva.

d y d x = 4 y x

d y 4 y = d x x

Ficamos com

1 4 ∫ d y y = ∫ d x x

Integrando

1 4 ln ⁡ y = ln ⁡ x + C

Rearranjando

ln ⁡ y = 4 ln ⁡ x + C

ln ⁡ y = ln ⁡ x 4 + C

y = C x 4

Prontinho!

Resposta

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