Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é achar a equação da família de círculos que contém os pontos dados. Da geometria analítica temos que a equação de um circulo de raio centrado em um ponto será
Para depois analisarmos a sua derivada e acharmos a sua família de curvas ortogonais.
Passo 2
Usando o ponto que deve estar no círculo.
Usando o outro ponto.
Subtraindo as duas equações teremos
Substituindo essa informação na equação teremos.
Nossa esse mais ou menos tá bem feio, mas não tem jeito. Vamos inserir na equação lembrando que o mais ou menos vai ser invertido para menos ou mais graças ao sinal negativo.
Vamos abrir essa equação.
Essa equação ta feia mas nesse formato ela vai ajudar a gente bastante.
Passo 3
Vamos determinar a EDO dessa família de círculos derivando aquela nossa primeira equação antes de abrirmos em função de x.
Disso temos
Para removermos esse só temos que usar a outra equação e dessa forma teremos a seguinte EDO.
Passo 4
Agora vamos lembrar o que sabemos da teoria de trajetórias ortogonais. A EDO da família de curvas ortogonais vai ser definida por.
Logo a EDO que devemos resolver será
Nossa grande questão agora será resolver essa EDO, vamos manipular ela um pouco.
Agora já está com uma cara de equação de Bernoulli né? Vamos resolve-la.
Passo 5
Como sabemos da teoria de equação de Bernoulli nós temos que dividir a EDO por .
Fazendo a substituição de variável
Realizando as mudanças na equação
Agora basta resolver essa EDO linear de primeira ordem onde temos
Passo 6
Calculando
Passo 7
Calculando
Passo 8
Agora temos que usar a nossa formula para calcular a solução da EDO.
Vamos voltar para .
Chamando poderemos fazer a seguinte manipulação.
Resposta
