Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas
Passo 1
Beleza, então queremos a família de curvas ortogonais. Para isso, precisamos da função no seguinte formato:
Aí, a EDO que soluciona o problema vai ser da forma:
Em que é a família de curvas ortogonais a . Beleza, vamos então derivar a expressão dada para encontrar
Passo 2
Achamos a derivada, mas precisamos reescrever em função de e . Lá do enunciado novamente
Assim vamos ter:
Passo 3
Agora, comparando com , temos que
Passo 4
Encontrada a expressão para a função , substituindo na fórmula geral
Essa vai ser a EDO associada ao problema.
Passo 5
Para resolver essa EDO, usamos a notação equivalente:
Separamos tudo que é de um lado e tudo que é do outro:
Agora é integrar dos dois lados:
Essa vai ser a forma da família de curvas ortogonais a . Temos uma família de curvas porque, para qualquer valor de , a curva é ortogonal, ou seja, temos infinitas possibilidades de escolha. Além disso, usamos a notação e não simplesmente para deixar claro que são curvas distintas. 😊