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Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

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Exercício 123456789101112

Enunciado

Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas

x - α 2 + y 2 = α 2 - 1   /   α ≥ 1

Passo 1

De acordo com o que vimos na teoria a primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem a essa família de curvas. E sabemos que é uma EDO do tipo y ' = f x , y . Então depois de algumas manipulações algébricas chegamos em...

x - α 2 + y 2 = α 2 - 1 ⇒ y 2 = α 2 - 1 - x - α 2

Derivando implicitamente em relação a x .

2 y y ' = - 2 x - α

y ' = - x - α y

Da própria equação da família concluímos que α = x 2 + y 2 + 1 2 x . Logo a EDO fica

y ' = - x - x 2 + y 2 + 1 2 x y = - 2 x 2 - x 2 - y 2 - 1 2 x y

y ' = - x 2 - y 2 - 1 2 x y

Passo 2

Estes são os coeficientes angulares das curvas da família que temos. Queremos encontrar outra família com coeficientes angulares iguais a

y ' = - 1 - x 2 - y 2 - 1 2 x y

Que são aqueles perpendiculares ao primeiros.

Passo 3

Temos que resolver então a EDO

y ' = 2 x y x 2 - y 2 - 1

Reorganizando a EDO, temos

d y d x = 2 x y x 2 - y 2 - 1 ⇒ x 2 - y 2 - 1 d y = 2 x y   d x

- 2 x y d x + x 2 - y 2 - 1 d y = 0

Passo 4

A EDO - 2 x y d x + 3 x 2 + y 2 + 1 d y = 0 parece ser exata. Vamos ver...

∂ P ∂ y = - 2 x

∂ Q ∂ x = 2 x

Bom ela não é exata, mais ainda tem chance de admitir um fator integrante.

Passo 5

Procurando o fator integrante

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x - - 2 x = 4 x

Se fizermos

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P = 4 x - 2 x y = - 2 y

que é uma função contínua que depende apenas de y , logo a equação admite fator integrante e ∫ f y d y .

Passo 6

Calculando o fator integrante.

- 2 ∫ 1 y d y = - 2 ln ⁡ y = ln ⁡ y - 2  

Então o fator integrante é

e ln ⁡ y - 2 = y - 2

Logo a nova equação diferencial

y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0

é exata. Pode acreditar. É exata rsrs.

Passo 7

Vamos agora resolver a EDO exata

y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0

Note que temos um y aí no meio dessa EDO, apesar de ser perfeitamente possível fazer as contas com o módulo, por questões de simplicidade, vou transformar essa EDO em duas EDO’s equivalentes resolvê-las.

Teremos então a EDO y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y ≥ 0                                                           ( 1 )

e a EDO - y - 2 - 2 x y d x + - y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y < 0                                 ( 2 )

Resolvendo ( 1 )

Integrando P x , y em relação a x

∫ y - 2 - 2 x y d x = - 2 y - 2 y ∫ x d x = - y - 1 x 2 + k y

Derivando em relação a y

∂ ∂ y - y - 1 x 2 + k y = x 2 y - 2 + k ' y

Comparando com Q x , y

x 2 y - 2 + k ' y = y - 2 x 2 - y 2 - 1

x 2 y - 2 + k ' y = x 2 y - 2 - 1 - y - 2

⇓

k ' y = - 1 - y - 2 ⇒ k y = - y + y - 1

Logo φ x , y = - y - 2 x 2 - y + y - 1 ,   y ≥ 0

Passo 8

Resolvendo ( 2 )

- y - 2 - 2 x y d x + - y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y < 0

Integrando P x , y em relação a x

∫ - y - 2 - 2 x y d x = 2 y - 2 y ∫ x d x = y - 1 x 2 + k y

Derivando em relação a y

∂ ∂ y y - 1 x 2 + k y = - x 2 y - 2 + k ' y

Comparando com Q x , y

- x 2 y - 2 + k ' y = - y - 2 x 2 - y 2 - 1

2 x 2 y - 3 + k ' y = - x 2 y - 2 + 1 + y - 2

⇓

k ' y = + 1 + y - 2 ⇒ k y = y - y - 1

Logo φ x , y = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

Passo 9

φ x , y = - y - 2 x 2 - y + y - 1 ,   y ≥ 0

φ x , y = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

Resposta

Logo as soluções são as curvas definidas implicitamente pelas equações

C 1 = - y - 2 x 2 - y - y - 1 ,   y ≥ 0

C 2 = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

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