Passo 1
Eu sei, eu sei, parece que o exercício está falando grego. Mas vamos tentar entender o que é que ele está querendo agora. Encontrar a curva ortogonal, significa encontrar aquela que é perpendicular à nossa família de curvas. Para isso, precisamos começar determinando o coeficiente angular da nossa curva, a derivada.
Derivando teremos
Podemos substituir
E ficamos com
Passo 2
Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvar ortogonais vai ser:
Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90°C com as nossas curvas iniciais. Então, vamos fazer
Ou seja
Passo 3
Perceba que agora chegamos em uma EDO separável, e basta integrar dos dois lados para encontrar a nossa curva.
Ficamos com
Integrando
Rearranjando
Note que teríamos constantes de integração dos dois lados mas podemos juntar as duas em para facilitar nossa vida.
Resposta
