Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:

E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:

Opa, transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade pra fazer a primeira transformada:

Sendo assim, temos:

Do enunciado, tiramos os valores da função para e da sua derivada no mesmo instante:

Show, agora pra segunda transformada a ideia vai ser a mesma, usaremos também a regra :

E pra terceira transformada, temos:

Então o lado esquerdo da equação ganha essa cara simpática aqui ó:

Agora, pra transformada que ficou faltando, do lado direito, por mais feia que ela seja, dá sim pra resolver. Só que não vai dar pra usarmos nenhuma das propriedades que a prova dá, então vamos usar a definição de transformadas:

E pra resolver esse cara feio, precisamos ainda de uma definição importantíssima do Delta de Dirac, que é sua relação com a função degrau:

Te prometo que, usando isso, essa função sai! Vamos chamar aí de:

De forma que temos a integral:

Pra resolver. Po, produto de funções né? Isso daí se resolve usando integração por partes! Saca só:

A integral fica:

Note que, se

Temos

De forma que, temos:

E também temos esse carinha aqui ó:

Sendo assim, o resultado da integral vira, finalmente:

Ou seja:

Ufa, fizemos já todas as transformadas! Juntando tudo, temos:

Podemos ainda aproveitar que esse denominador em comum é um trinômio quadrado perfeito pra simplificar ainda mais, saca só:

Vamos ter:

E nos próximos passos a gente vai se preocupar em inverter pra achar ! Vamo que vamo!