Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial

y ' ' - 2 y ' + 3 y = u 1 ( t ) e t - 1

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,

Onde   u 1 t é a função degrau unitário com descontinuidade em 1

Passo 1

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos lados da equação:

L   y ' ' - 2 y ' + 3 y s = L   u 1 t e t - 1 ( s )

s 2 - 2 s + 3 L y s - s y 0 - y ' 0 - y 0 =   e - s s - 1

Pelas condições iniciais e o método de frações simples, obtemos:

L y s =   e - s ( s - 1 ) ( s 2 - 2 s + 3 ) =   1 2   e - s s - 1 -   1 2     e - s ( s - 1 ) s 2 - 2 s + 3

Passo 2

Pela tabela de transformadas, podemos observar também que

L - 1   e - s s - 1 = u 1 t e t - 1

E

L - 1 e - s s - 1 s 2 - 2 s + 3 ) = L - 1 e - s s - 1 s - 1 2 + 2 = u 1 t L - 1 ( s - 1 s - 1 2 + 2 ) ( t - 1 )

= u 1 t e t - 1 c o s ⁡ ( 2 t - 1 )

Por tanto, a solução procurada é

y t =   1 2 u 1 t e t - 1 - 1 2 u 1 t e t - 1 cos ⁡ 2 t - 1 =   1 2   u 1 t e t - 1 ( 1 - c o s ⁡ ( 2 ( t - 1 )

Resposta

y t =   1 2 u 1 t e t - 1 - 1 2 u 1 t e t - 1 cos ⁡ 2 t - 1 =   1 2   u 1 t e t - 1 ( 1 - c o s ⁡ ( 2 ( t - 1 )

Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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