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Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Exercício 1212345678910111314

Enunciado

UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 4

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução y ( t ) do seguinte sistema de equações:

x ' t + 2 y ' t - 2 y t = t x t + y ' t - y t = 1

Com condições iniciais x 0 = y 0 = 0 .

Passo 1

Vamos manipular a equação, fazendo t = 0 na segunda equação, temos:

x 0 + y ' 0 + y 0 = 1

Pelas condições iniciais x 0 = y 0 = 0 , achamos uma nova condição:

y ' 0 = 1

Derivando a segunda equação:

x t + y ' t - y t = 1

x ' t + y ' ' t - y ' t = 0

Agora fazendo a diferença da primeira e derivada da segunda equação, temos:

y ' ' ( t ) - 3 y ' ( t ) + 2 y ( t ) = - t

Passo 2

Agora vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse Problema de valor inicial. Aí, vamos aplicar a transformada em todo mundo:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

Aplicando as condições iniciais do problema: y ' 0 = 1 e y 0 = 0 :

L y ' t = s Y s

L y ' ' t = s 2 Y s - 1

Agora vamos substituir as transformadas na nossa EDO:

y ' ' ( t ) - 3 y ' ( t ) + 2 y ( t ) = - t

L y ' ' ( t ) - 3 y ' ( t ) + 2 y ( t ) = L [ - t ]

Vamos fazer o lado esquerdo primeiro:

L y ' ' ( t ) - 3 y ' ( t ) + 2 y ( t ) = L [ y ' ' ( t ) ] + L - 3 y ' ( t ) + L [ 2 y ( t ) ]

L [ y ' ' ( t ) ] + L - 3 y ' ( t ) + L [ 2 y ( t ) ] = L y ' ' t - 3 L y ' ( t ) + 2 L [ y ( t ) ]

Vamos substituir as transformadas que encontradamos pra cada:

L y ' ' t - 3 L y ' ( t ) + 2 L [ y ( t ) ] =   s 2 Y s - 1 - 3 s Y s + 2   Y ( s )

s 2 Y s - 3 s Y s +   2 Y s - 1 = s 2 - 3 s + 2 Y s - 1

Agora vamos ver o lado direito:

L - t = - 1 s ²

Vendo a EDO completa:

s 2 - 3 s + 2 Y s - 1 = - 1 s ²

s 2 - 3 s + 2 Y s = - 1 s 2 + 1

Y s = - 1 s 2 - 3 s + 2 s 2 + 1 s 2 - 3 s + 2

Y s = s 2 - 1 s 2 - 3 s + 2 s 2

Y s = ( s + 1 ( s - 1 ) ( s - 1 ) ( s - 2 ) s 2

Y s = s + 1 s ² ( s - 2 )

Passo 3

Agora a gente vai precisar achar a Transformada Inversa dessa função aí de cima:

L-1 Y ( s )

L-1 s + 1 s ² ( s - 2 )

Utilizaremos frações parciais para resolver essa transformada:

Y s = s + 1 s ² ( s - 2 ) = A s + B s ² + C s - 2

s + 1 s ² ( s - 2 ) = A s s - 2 + B s - 2 + C s ² s ² ( s - 2 )

s + 1 = A s s - 2 + B s - 2 + C s ²

s + 1 = A s 2 - 2 A s + B s - 2 B + C s ²

s + 1 = s 2 A + C + s ( B - 2 A ) - 2 B

Comparando termo a termo, para que a expressão se iguale a s + 1 :

A + C = 0 B - 2 A = 1 - 2 B = 1

A = - 3 4 B = - 1 2 C = 3 4

Agora vamos substituir esse A, B e C :

Y s = A s + B s ² + C s - 2

Y s = - 3 4 1 s - 1 2 1 s 2 + 3 4 1 s - 2

y t = = L-1 - 3 4 1 s + L-1 - 1 2 1 s 2 + L-1 3 4 1 s - 2

L-1 Y ( s ) = y t = - 3 4 L-1 1 s - 1 2 L-1 1 s 2 + 3 4 L-1 1 s - 2

y t = - 3 4 - t 2 + 3 4 e 2 t

Resposta

y t = - 3 4 - t 2 + 3 4 e 2 t

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