Seja g uma função seccionalmente contínua definida sobre [0, +∞) cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, g(0) = 1 e L[g(t)] s = arctan(s) , calcule L[e^(2t)g'(t)](s) .

Passo 1

Essa questão é pura aplicação de fórmulas, você vai ver! Temos a seguinte fórmula com transformada da derivada:

L f ' s = s L f s - f 0

Logo,

L g ' t s = s L g t s - g 0

Passo 2

Substituindo os dados do problema,

L g ' t s = s ⋅ a r c t a n ⁡ ( s ) - 1

Certo? Beleza.

Passo 3

Agora temos que lembrar da fórmula da transformada de uma função vezes uma exponencial, já que é o que o problema pede:

L e c t f t s = L f t ( s - c )

Se você não se lembra dessa fórmula, relaxa! Dá um pulinho lá em primeiro teorema do deslocamento.

Passo 4

Aplicando à questão:

L e 2 t g ' t s = L g ' t ( s - 2 )

Nós já temos L g ' t s , não é? Então podemos encontrar L g ' t ( s - 2 ) substituindo s por s - 2 . Temos:

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ⁡ ( s - 2 ) - 1

Resposta

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ⁡ ( s - 2 ) - 1

Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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