UNICAMP - (Cálculo 3) - P1 2020.1
Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.
Passo 1
Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:
E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:
Opa, transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade pra fazer a primeira transformada:
Sendo assim, temos:
Do enunciado, tiramos os valores da função para e da sua derivada no mesmo instante:
Show, agora pra segunda transformada a ideia vai ser a mesma, usaremos também a regra :
E pra terceira transformada, temos:
Pras outras duas, vamos usar as propriedades e , respectivamente:
Sendo assim, vamos ficar com:
Juntando tudo, temos:
E rearrumando isso, temos:
Ainda da pra dar mais uma simplificada. Veja que o denominador em comum é quaaaaase um trinômio quadrado perfeito. Pra chegar lá, falta a gente fazer:
E logo, temos:
E nos próximos passos a gente vai se preocupar em inverter pra achar ! Vamo que vamo!
Passo 2
Pra começar, a mesma propriedade que vimos pra transformada, vale pra transformada inversa! Ou seja galera, vamos ficar com essa fórmula linda aqui:
Temos então três transformadas inversas pra achar! Pra primeira, podemos usar a propriedade abaixo:
De forma que:
Onde:
Agora, pra achar esse acima, vamos considerar:
Pra achar a partir de , usamos as propriedades:
Assim, para , temos:
Portanto, se
Então:
E logo:
Passo 3
Ok eu sei, o passo anterior foi beeeeem doido, mas calma que sobraram ainda duas transformadas pra gente. Saca só:
A primeira vai ser um tico enrolada porque vamos precisar usar frações parciais. Olha só essa doidera:
Colocando todo mundo no mesmo denominador, temos:
Aplicado a distributiva e cortando o denominador, ficamos com:
Colocando os termos em comum em evidência, temos:
Isso gera um sisteminha doido com essa cara:
Somando a primeira com a segunda equação, achamos:
Somando essas duas equações, temos:
E usando esse valor, achamos:
O que resulta em:
De forma que a transformada inversa fica:
Dessas três doideras ai, a primeira sai direto com a propriedade abaixo:
A segunda sai com as propriedades abaixo, usando
De forma que:
E a última sai usando as propriedades abaixo pra também:
De forma que:
E assim, fechamos pelo menos esse pedaço:
Passo 4
Quase lááááá galera, falta só uma transformada inversa:
E esse carinha, se a gente transformar ele em:
Fica bem mais claro o resultado. O primeiro inclusive, já calculamos, e deu:
O segundo também já tínhamos calculado, só que com um em cima ao invés de , portanto, se:
Então
E assim, temos:
Feshow então, vamos juntar tudo. A gente lá em cima viu que:
No passo 2 achamos:
No passo 3, achamos:
E nesse passo mesmo, vimos que:
Então juntando essa doidera toda, chegamos em:
Ufaaaa, cabou mesmo agora em!!!