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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

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Exercício 11123456789101213

Enunciado

Calcule o valor de v o ( t ) no circuito:

Passo 1

Primeiro passo é substituir os elementos por suas transformadas de Laplace:

u t ⟶   1 s

2 Ω ⟶   2

1 3 F ⟶   1 s C =   1 s 1 3 =   3 s

5 H ⟶ s L = 5 s

Passo 2

Agora vamos estipular as correntes em cada uma das malhas:

Passo 3

Vamos analisar cada uma das malhas normalmente com a LKT. Analisando a malha 1, temos:

1 s - 2 I 1 -   3 s   I 1 -   I 2 = 0

Analisando a malha 2:

-   3 s   I 2 -   I 1 - 2 I 2 - 5 s I 2 -   I 3 = 0

Analisando a malha 3:

- 5 s   I 3 -   I 2 - 2 I 3 -   1 s = 0

Passo 4

Através da terceira equação podemos colocar a corrente I 3 em função da corrente I 2 :

- 5 s I 3 + 5 s I 2 - 2 I 3 -   1 s = 0

5 s I 2 -   1 s = 5 s I 3 + 2 I 3

I 3 =   5 s 2 I 2 - 1 s ( 5 s + 2 )

Passo 5

Através da primeira equação podemos colocar a corrente I 1 em função da corrente I 2 :

1 s - 2 I 1 -   3 s   I 1 -   I 2 = 0

1 s + 3 s I 2 = 2 I 1 + 3 s I 1

3 I 2 + 1 s =   I 1 2 s + 3 s

I 1 = 3 I 2 + 1 2 s + 3

Passo 6

Substituindo essas relações na segunda equação:

-   3 s   I 2 -   I 1 - 2 I 2 - 5 s I 2 -   I 3 = 0

-   3 s I 2 + 3 s   I 1 - 2 I 2 - 5 s I 2 + 5 s I 3 = 0

I 2 - 3 s - 2 - 5 s + 3 s 3 I 2 + 1 2 s + 3 + 5 s 5 s 2 I 2 - 1 s 5 s + 2 = 0

I 2 - 5 s 2 - 2 s - 3 s + 9 I 2 2 s 2 + 3 s +   3 2 s 2 + 3 s + 25 s 2 I 2 5 s + 2 -     5 5 s + 2 = 0

I 2 - 5 s 2 - 2 s - 3 10 s 2 + 19 s + 6 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s + I 2 45 s + 18 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s +   15 s + 6 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s +   I 2 50 s 4 + 75 s 3 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s +   - 10 s 2 - 15 s 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s = 0

I 2 - 40 s 3 - 98 s 2 - 24 s 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s = 10 s 2 - 6 10 s 3 + 19 s 2 + 6 s

I 2 = - 10 s 2 - 6 40 s 3 + 98 s 2 + 24 s

I 2 = - 10 s 2 - 6 s ( 40 s 2 + 98 s + 24 )

Passo 7

V o s = 2 I 2 ( s )

V o s = - 20 s 2 - 12 s ( 40 s 2 + 98 s + 24 )

V o s = - 20 s 2 + 12 s ( s + 0,28 ) ( s + 2,17 )

Expandindo em frações parciais:

V o s = A s + B ( s + 0,28 ) + C ( s + 2,17 )

A = lim s → 0 ⁡ s - 0 V o s =   lim s → 0 ⁡ - 20 s 2 + 12 ( s + 0,28 ) ( s + 2,17 ) =   12 0,61

A = 19,75

B = lim s → - 0,28 ⁡ s + 0 , 28 V o s =   lim s → 0 ⁡ - 20 s 2 + 12 s ( s + 2,17 ) =   - 1,568 + 12 - 0,53

B = - 19,68

C = lim s → - 2 , 7 ⁡ s + 2,17 V o s =   lim s → 0 ⁡ - 20 s 2 + 12 s s + 0,28 =   - 94,18 + 12 4,1

C =   - 20,04

Passo 8

V o s = 19,75 s + - 19,68 ( s + 0,28 ) + - 20,04 ( s + 2,17 )

Aplicando Laplace inversa em V o s :

L - 1 V o s = 19,75   L - 1 1 s - 19,68   L - 1 1 s + 0,28 - 20,04 L - 1 1 s + 2,17

v o t = 19,75   u t - 19,68 e - 0,28 t u t - 20,04 e - 2,17 t u t

Passo 9

Resposta

v o t = 19,75   - 19,68 e - 0,28 t - 20,04 e - 2,17 t u ( t )

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