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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

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Exercício 13123456789101112

Enunciado

Dado o circuito a seguir, determine a resposta natural da descarga do capacitor no circuito a seguir utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

Primeiro vamos escrever as equações referentes ao resistor:

v t = R * i t

Aplicando a transformada de Laplace:

V s = R * I ( s )

Então mantemos o mesmo circuito no domínio de s:

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo com o capacitor:

i t = C * d v d t

d v d t =   i ( t ) C

Aplicando a transformada de Laplace:

L d v d t = s V s - v ( 0 - )

L i ( t ) C = I ( s ) C

Logo, aplicando Laplace em d v d t =   i ( t ) C , temos:

s V s - v 0 - =   I ( s ) C

s V s =   I ( s ) C +   v 0 -

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 3

Podemos substituir o circuito no domínio do tempo por um circuito no domínio de s da sequinte maneiraque corresponde a equação que encontramos:

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 4

Agora podemos acoplar os dois circuitos e analisar a tensão de descarga no capacitor:

I s =   I 1 s +   I 2 s

C v 0 =   V c   ( s ) R +   V c   ( s ) 1 R C

C v 0 =   V c   s 1 R + 1 1 R C

V c   s = C v 0 s C +   1 R

V c   s = v 0 C +   1 R C

Passo 5

Vamos fazer a transformada inversa de Laplace:

L - 1 [ V c   s ] = L - 1 [ v 0 C +   1 R C ]

v c t =   V 0   e - t R C

Pronto, pessoal, encontramos a mesma equação que já conhecíamos da descarga do capacitor com um resistor, mas agora através de Laplace.

Passo 6

Resposta

v c t =   V 0   e - t R C

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