Determine a resposta ao degrau unitário e a resposta à rampa unitária do circuito abaixo.

Então, vamos fazer a análise nodal do circuito abaixo:

Aplicando LCK nos nós:

e

Escrevendo essas correntes em função das nossas tensões nodais, temos:

Substituindo esses valores nas equações nodais:

Simplificando:

Isolando na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:

Dando aquela ajeitada:

Encontramos uma EDO não homogênea. Primeiro vamos resolver para quando .

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

Como o capacitor está inicialmente descarregado, . Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

Isolando a transformada da tensão,

Agora que encontramos a expressão para , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

Agora, precisamos determinar as constantes e .

Para temos

Simplificando,

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos .

Substituindo o valor de cada constante, temos que

Agora que encontramos a expressão para em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

Portanto,

Pronto, encontramos a resposta ao degrau unitário. Agora precisamos encontrar a resposta à rampa unitária. Para isso, vamos resolver a EDO para quando .

Lembrando que

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

Isolando a transformada da tensão,

Agora que encontramos a expressão para , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

Agora, precisamos determinar as constantes , e .

Como temos raízes múltiplas no polinômio do denominador, calcularemos primeiro .

Simplificando,

Para encontrarmos faremos assim:

Agora, vamos calcular .

Simplificando,

Substituindo o valor de cada constante, temos que

Agora que encontramos a expressão para em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

Portanto,