Para o circuito abaixo, determine para
Passo 1
Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais.
Em , o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.
Além disso, a fonte de corrente vale zero, já que para . Ou seja, podemos considerá-la desligada.
Passo 2
Então, para , analisamos o circuito abaixo.
A corrente fornecida pela fonte passará toda pelo curto circuito. Logo, não passará corrente pelo resistor de . Logo, pela lei de Ohm,
Passo 3
Precisamos encontrar a condição inicial para a derivada da corrente. Em , a fonte de corrente passa a funcionar e vale . Então, a gente tem esse circuito aí.
Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que
Como o circuito é paralelo, a tensão é a mesma para todos os elementos. Logo, no indutor
Em , como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente,
Portanto,
Passo 4
Agora, nós vamos fazer uma coisa que vai nos facilitar muito. Vamos usar transformação de fontes. A fonte de tensão que está em série com o resistor vai se transformar numa fonte de corrente em paralelo com o resistor. Lembra disso?
Quando realizamos a transformação de fontes temos que respeitar a lei de Ohm. Logo o valor da fonte de corrente será
Logo, nosso circuito ficará assim,
Ainda podemos reduzir mais o circuito, já que temos dois resistores em paralelo e duas fontes de corrente também em paralelo.
Então, somando o valor das fontes e calculando a resistência equivalente
Chegamos ao circuito abaixo.
Passo 5
Aplicando a LCK no circuito,
Como, no indutor
Substituindo , temos
Arrumando os termos,
Passo 6
Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos
Substituindo nossas condições iniciais.
Temos,
Isolando a transformada da corrente,
Passo 7
Agora que encontramos a expressão para , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.
Fatorando o polinômio do denominador, temos
Expandindo em frações parciais,
Agora, precisamos determinar as constantes e .
Como a raiz de é zero, para temos
Simplificando,
Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos .
Como a raiz de é , temos:
Simplificando,
E para
Simplificando,
Substituindo o valor de cada constante, temos que
Passo 8
Agora que encontramos a expressão para em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:
Portanto,
A gente sempre multiplica cada termo da equação pelo degrau unitário , para deixar claro que a expressão é válida apenas para .