Determine as respostas ao degrau unitário e ao impulso no circuito abaixo.

Primeiro, vamos analisar o caso em que Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante , não há circulação de corrente no circuito e para a fonte de corrente vale . Logo, para vamos analisar o circuito abaixo.

Sabemos que a tensão no indutor tem a seguinte relação:

E como o indutor está em paralelo com o resistor de , eles possuem a mesma tensão.

Aplicando LCK no nó:

Como, para , .

Logo,

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante , não há circulação de corrente no circuito. Logo, para . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

Isolando a transformada da corrente,

Agora que encontramos a expressão para , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

Agora, precisamos determinar as constantes e .

Para temos

Simplificando,

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos .

Simplificando,

Substituindo o valor de cada constante, temos que

Agora que encontramos a expressão para em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

Portanto,

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor, finalmente podemos encontrar o valor de Sabemos que:

Substituindo,

Logo,

Agora, precisamos encontrar para quando . No instante , um impulso de corrente no indutor causaria uma corrente infinita passando por ele, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente fornecido pela fonte deve passar somente pelos resistores.

Quando esse impulso unitário de corrente passa pelo resistor de , ele gera um impulso de tensão no resistor e, consequentemente, no indutor, já que eles estão em paralelo. Portanto podemos dizer que:

Encontramos o valor de no instante . Agora temos que calcular para .

Quando , a EDO que a gente tinha encontrado fica assim:

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

Como,

Temos:

Isolando a transformada da corrente,

Agora que encontramos a expressão para em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

Portanto,

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor para , finalmente podemos encontrar o valor de Sabemos que:

Substituindo,

Logo, a expressão geral para quando a fonte de corrente é um degrau unitário é: