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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

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Exercício 10123456789111213

Enunciado

O circuito abaixo está operando no estado permanente para t < 0 , com a chave aberta. Se a chave se fecha em t = 0 , determine i 0 ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar as condições iniciais.

Em t = 0 - , o enunciado disse que o circuito estava em seu regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito, o capacitor um circuito aberto e temos o circuito abaixo:

Logo, pela lei de Ohm,

i 1 0 - = 4 1 + 1 + 2 = 1   A

v 0 - = 3 × 1 = 3   V

Em t = 0 + a chave é fechada e temos o seguinte circuito:

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 3   V

i 1 0 + = i 1 0 - = 1   A

Como queremos encontrar i 0 , é mais fácil analisarmos o circuito para encontrarmos v , já que pela Lei de Ohm

v = 1 i 0

Então, precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t .

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 1 0 + = i c 0 + + i 0 ( 0 + )

Logo,

i c 0 + = i 1 0 + - i 0 ( 0 + )

i c 0 + = 1 - v 0 + 1

i c 0 + = 1 - 3 = - 2   A

Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Logo,

d v ( 0 + ) d t = i c ( 0 + ) 0,5

Portanto,

d v ( 0 + ) d t = - 2 0,5 = - 4   V / s

Passo 2

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 . Então, após o fechamento da chave, a gente tem o circuito abaixo:

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

i 1 = i c + i 0

Logo,

i 1 = 1 2 d v d t + v 1

E aplicando LTK na malha da esquerda,

- 4 + 1 2 d i 1 d t + i 1 + v = 0

Como a gente está querendo determinar a tensão v ( t ) , vamos substituir i 1 da primeira equação na segunda.

- 4 + 1 2 d v d t + 1 4 d 2 v d t 2 + 1 2 d v d t + v + v = 0

Simplificando,

1 4 d 2 v d t 2 + d v d t + 2 v = 4

Arrumando os termos,

d 2 v d t 2 + 4 d v d t + 8 v = 16

Que podemos escrever também desta maneira:

v ' ' t + 4 v ' t + 8 v t = 16

Passo 3

Agora que encontramos a EDO não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V 0 ( s ) . Relembrando que

L v ' ' t s = s 2 V s - s v 0 + - v ' ( 0 + )

L v ' t s = s V s - v 0 +

Portanto, a nossa equação transformada é

s 2 V s - s v 0 + - v ' 0 + + 4 s V s - v 0 + + 8 V s = 16 s

Substituindo as condições iniciais que encontramos:

v 0 0 + = 3   V

v ' ( 0 + ) = - 4   V / s

Temos,

s 2 V s - 3 s + 4 + 4 s V s - 3 + 8 V s = 16 s

Simplificando,

s 2 V s + 4 s V s + 8 V s = 16 s + 8 + 3 s

Isolando a transformada da tensão,

V s   s 2 + 4 s + 8 = 3 s 2 + 8 s + 16 s

V s = 3 s 2 + 8 s + 16 s s 2 + 4 s + 8

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Fatorando o polinômio do denominador, temos

V s = 3 s 2 + 8 s + 16 s ( s + 2 - j 2 ) ( s + 2 + j 2 )

Expandindo em frações parciais,

V s = A s + B s + 2 - j 2 + C s + 2 + j 2

Agora, precisamos determinar as constantes A ,   B e C .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ ( s - 0 ) V s

A = lim s → 0 ⁡ s 3 s 2 + 8 s + 16 s s 2 + 4 s + 8

A = 16 8 = 2

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

B = lim s → - 2 + j 2 ⁡ ( s + 2 - j 2 ) 3 s 2 + 8 s + 16 s ( s + 2 - j 2 ) ( s + 2 + j 2 )

Simplificando,

B = lim s → - 2 + j 2 ⁡ 3 s 2 + 8 s + 16 s ( s + 2 + j 2 )

B = - - j 8 - 2 + j 2 j 4

Passando para fórmula polar,

B = 8 e - j 90 ° 2 2 e j 135 ° 4 e j 90 °

Simplificando,

B = e - j 180 ° 2 e j 135 ° = 1 2 e j 315 °

Logo,

B = 2 2 e j 45 °

Quando temos esse caso de raízes complexas, só precisamos calcular uma constante. A segunda é o conjugado da primeira. Logo,

C = 2 2 e - j 45 °

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

V s = 2 1 s + 2 2 e j 45 ° 1 s + 2 - j 2 + 2 2 e - j 45 ° 1 s + 2 + j 2

L - 1 V s = 2   u t + 2 2 e j 45 ° e - 2 - j 2 t   u t + 2 2 e - j 45 ° e - ( 2 + j 2 ) t   u ( t )

Poderíamos deixar v ( t ) com essa expressão, mas a gente sempre evita grandezas complexas na resposta final. Então, vamos simplificá-la bastante e deixá-la mais bonita.

v t = 2   + 2 2 e j 45 ° e - 2 t e j 2 t + 2 2 e - j 45 ° e - 2 t e - j 2 t   u ( t )

v t = 2 + 2 2 e - 2 t e j 45 ° e j 2 t + e - j 45 ° e - j 2 t   u t

v t = 2 + 2 2 e - 2 t e j ( 2 t + 45 ° ) + e - ( 2 t + j 45 ° )   u t

Lembrando da identidade

2 cos ⁡ θ = ( e j θ + e - j θ )

Temos,

v t = 2 + 2 2 e - 2 t × 2 cos ⁡ ( 2 t + 45 ° )   u t

Portanto,

v t = 2 + 2 e - 2 t cos ⁡ ( 2 t + 45 ° )   u t

Como vimos que v t = i 0 t ,

i 0 t = 2 + 2 e - 2 t cos ⁡ ( 2 t + 45 ° )   u t

Resposta

i 0 t = 2 + 2 e - 2 t cos ⁡ ( 2 t + 45 ° )   u t

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