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Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Exercício 812345679101112

Enunciado

Em alguma base ortonormal são dados os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   2 ) , v → = ( 0 ,   1 ,   1 ) e w → = ( 1 ,   1 ,   - 4 ) . Considere os pontos A , B , C e D tais que A B → = u → , B C → = v → e C D → = w → e determine:

a) A área do triângulo A B C

b) O volume do tetraedro A B C D

c) A altura do tetraedro A B C D relativa à face A B C

Passo 1

a) A área do triângulo A B C é dada por

A = | A B → ∧ B C → | 2

Ou seja

A = | u → ∧ v → | 2

Primeiro vamos calcular o produto vetorial u → ∧ v → , ele vai ser

u → ∧ v → = i ^ j ^ k ^ 1 1 2 0 1 1 = - i ^ - j ^ + k ^

Passo 2

O módulo do produto vetorial u → ∧ v → vai ser

u → ∧ v → = - 1 2 + - 1 2 + 1 ² = 3

Então, a área do triângulo A B C vai ser

A = | u → ∧ v → | 2

A = 3 2

Passo 3

b) O volume do tetraedro vai ser 1 6 do produto misto de A B → ,   A C → e A D →

Antes de tudo, vamos encontrar os vetores A C → e A D → , já que eles não foram dados pelo enunciado.

Sabemos que A C → = A B → + B C → , logo

A C → = u → + v →

Sabemos também que A D → = A B → + B C → + B D → , então

A D → = u → + v → + w →

Passo 4

Lembrando que o produto misto de vetores L.D. é igual a 0, podemos escrever que

A B → ,   A C → ,   A D → = [ u → ,   u → + v → ,   A D → ]

A B → ,   A C → ,   A D → = u → ,   u → ,   A D → + [ u → ,   v → ,   u → + v → + w → ]

A B → ,   A C → ,   A D → = u → ,   v → ,   u → + u → ,   v → ,   v → + u → ,   v → ,   w →

A B → ,   A C → ,   A D → = u → ,   v → ,   w →

Então, o volume do nosso tetraedro vai ser 1 6 do produto misto u → ,   v → ,   w →

Passo 5

O produto misto u → ,   v → ,   w → é calculado por

u → ,   v → ,   w → = 1 1 2 0 1 1 1 1 - 4 = - 6

Então, o volume do tetraedro vai ser

V = - 6 6 = 1

Passo 6

c) Vamos dar uma lembrada na geometria plana? Lá, o volume do tetraedro é 1 3 da área da sua base vezes a sua altura, isso quer dizer que

V = 1 3 A h

Mas O V a gente já tem, e o A é a área do triângulo A B C , só falta acharmos o h :

h = 3 V A

h = 3 × 1 3 2

h = 6 3

Racionalizando:

h = 2 3

Resposta

a) A = 3 2  

b) V = 1

c) h = 2 3  

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Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.