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Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Exercício 101234567891112

Enunciado

Um tetraedro O A B C tem volume 12. Determine o volume do tetraedro O P Q R no qual O P → = O A → + O B → , O Q → = O A → + O C → e O R → = O B → + O C → .

Passo 1

Vamos lembrar que o volume do tetraedro O A B C é o produto misto 1 6 | O A → ,   O B → ,   O C → | , assim como o volume do tetraedro O P Q R é 1 6 | O P → ,   O Q → ,   O R → |

Então o valor do produto misto O A → ,   O B → ,   O C → é tal que

1 6 O A → ,   O B → ,   O C → = 12

O A → ,   O B → ,   O C → = ± 72

Vamos brincar com O P → ,   O Q → ,   O R → utilizando as relações dadas no enunciado hehe

Passo 2

Substituindo pelas relações dadas, temos que

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O B → + O C →

Por propriedade do produto misto, podemos separar isso assim:

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O C →

Separando novamente (dessa vez em relação à segunda coordenada):

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → ,   O B → + O A → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → ,   O C → + O A → + O B → ,   O C → ,   O C →

Opa, repara que esses produtos mistos que estão em negrito são formados por vetores L.D, isso porque um é combinação linear do outro :O Lembra o que acontece quando o produto misto tem vetores L.D? Isso mesmo, dá 0 hehe então temos o seguinte

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → ,   O C →

Separando mais uma vez:

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → ,   O C → ,   O B → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → ,   O A → ,   O C → + O B → ,   O A → ,   O C →

Esses produtos mistos em negrito também vão dar 0, porque nos dois temos vetores repetidos!!

Passo 3

Então a gente tem

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → ,   O C → ,   O B → + O B → ,   O A → ,   O C →

Por propriedade do produto misto, a ordem dos vetores pode ser trocada mudando o sinal do produto:

O P → ,   O Q → ,   O R → = - O A → ,   O B → ,   O C → - O A → ,   O B → ,   O C →

O P → ,   O Q → ,   O R → = - 2 O A → ,   O B → ,   O C →

Mas a gente viu lá no passo 1 que O A → ,   O B → ,   O C → vale ± 72 , então

O P → ,   O Q → ,   O R → = ± 2 × 72 = ± 144

Logo, a área do tetraedro O P Q R vai ser

1 6 O P → ,   O Q → ,   O R → = 1 6 144 = 24

Resposta

2 4

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.