Um tetraedro O A B C tem volume 12. Determine o volume do tetraedro O P Q R no qual O P → = O A → + O B → , O Q → = O A → + O C → e O R → = O B → + O C → .

Passo 1

Vamos lembrar que o volume do tetraedro O A B C é o produto misto 1 6 | O A → ,   O B → ,   O C → | , assim como o volume do tetraedro O P Q R é 1 6 | O P → ,   O Q → ,   O R → |

Então o valor do produto misto O A → ,   O B → ,   O C → é tal que

1 6 O A → ,   O B → ,   O C → = 12

O A → ,   O B → ,   O C → = ± 72

Vamos brincar com O P → ,   O Q → ,   O R → utilizando as relações dadas no enunciado hehe

Passo 2

Substituindo pelas relações dadas, temos que

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O B → + O C →

Por propriedade do produto misto, podemos separar isso assim:

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → + O C → ,   O C →

Separando novamente (dessa vez em relação à segunda coordenada):

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O A → ,   O B → + O A → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → ,   O C → + O A → + O B → ,   O C → ,   O C →

Opa, repara que esses produtos mistos que estão em negrito são formados por vetores L.D, isso porque um é combinação linear do outro :O Lembra o que acontece quando o produto misto tem vetores L.D? Isso mesmo, dá 0 hehe então temos o seguinte

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → + O B → ,   O A → ,   O C →

Separando mais uma vez:

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → ,   O C → ,   O B → + O B → ,   O C → ,   O B → + O A → ,   O A → ,   O C → + O B → ,   O A → ,   O C →

Esses produtos mistos em negrito também vão dar 0, porque nos dois temos vetores repetidos!!

Passo 3

Então a gente tem

O P → ,   O Q → ,   O R → = O A → ,   O C → ,   O B → + O B → ,   O A → ,   O C →

Por propriedade do produto misto, a ordem dos vetores pode ser trocada mudando o sinal do produto:

O P → ,   O Q → ,   O R → = - O A → ,   O B → ,   O C → - O A → ,   O B → ,   O C →

O P → ,   O Q → ,   O R → = - 2 O A → ,   O B → ,   O C →

Mas a gente viu lá no passo 1 que O A → ,   O B → ,   O C → vale ± 72 , então

O P → ,   O Q → ,   O R → = ± 2 × 72 = ± 144

Logo, a área do tetraedro O P Q R vai ser

1 6 O P → ,   O Q → ,   O R → = 1 6 144 = 24

Resposta

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Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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