Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

Enunciado

UFPE, PF-2019.2

Sejam os pontos , , e .

Ache a equação do plano e prove que o ponto não pertence a esse plano.

Calcule o volume do tetraedro .

Ache o simétrico do ponto em relação ao plano .

Ache o (cosseno do) ângulo entre as arestas e .

Passo 1

Belezoca galerinha, em (i) queremos o plano , e pra gente encontrar ele, usamos a equação do vetor normal de um plano , dada por:

Ou seja, o vetor normal é igual ao produto interno entre os segmentos e , logo temos que:

Portanto, o produto vetorial entre esses segmentos é dado por:

Resolvendo, obtemos o nosso vetor normal:

Passo 2

Show de bolinhas galera, a equação geral do plano é dada por:

E se nosso vetor normal é , quer dizer que:

E nosso plano pode ser reescrito como:

Não sabemos o valor de , MAAASSSS sabemos que como o plano é formado pelos pontos , quer dizer que todos esses pontos pertencem ao plano . Então se a gente substituir algum deles na equação do plano, o resultado tem ser coerente, saca só, se a gente substituir o ponto teremos que:

Iradoso, então quer dizer que a equação do nosso plano é dada por:

E pra verificar que o ponto não pertence ao plano, é só a gene substituir ele:

ABSURSO!! Como sabemos que , quer dizer que o ponto não pertence ao plano.

Passo 3

Já no item (ii), queremos determinar o volume do tetraedro e pra isso podemos usar a fórmula:

Isto é, o volume do tetraedro é igual a um sexto do módulo do determinante da matriz formada pelas arestas do tetraedro nas colunas. Dessa forma temos que:

Logo:

Portanto o volume será:

Passo 4

Belezoca, agora no item (iii) queremos encontrar o simétrico de , dado por . Como eles são simétricos, podemos escrever como:

Portanto, segue que:

Logo:

MAAASSS a malandragem aqui é que se os pontos e são simétricos, quer dizer que a distancias deles até o plano é exatamente a mesma, tal que o ponto médio de coincide exatamente sobre o plano!!! E esse ponto médio é dado pela média aritmética do segmento:

E se esse ponto pertence ao plano, quer dizer que ele obedece a equação , tal que:

Portanto, temos que:

Passo 5

E por fim no item (iv), queremos encontrar o cosseno do ângulo entre as arestas e . E equação do cosseno de um ângulo entre vetores é dada por:

Belejóia, dito isso, temos que:

Logo nossa equação fica assim:

Resolvendo os produtos internos e calculando os módulos, temos que:

Portanto o cosseno do ângulo é dado como:

E racionalizando, obtemos que:

Resposta

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '

Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,

Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .

Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .

Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.