Sabendo que, em , os pontos são os vértices de um tetraedro de volume e que os pontos e são tais que e pode-se concluir que o volume do tetraedro de vértices é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Usando o raciocínio do produto misto, temos que o volume do tetraedro formado pelos vértices vale:

Para que as relações:

apareçam no nosso produto misto, podemos usar alguns truquezinhos haha.

Por exemplo, podemos escrever que:

E:

Substituindo as nossas relações, vem:

Substituindo no produto misto que dá o volume do tetraedro, vem:

Muito bom!

Agora podemos usar a seguinte propriedade do produto misto pra melhorar a nossa expressão:

Assim:

Mas, o produto misto envolvendo um mesmo vetor é nulo. Assim:

Aplicando novamente a nossa propriedade no termo que restou, temos:

Logo:

Colocando os escalares pra fora, vem:

Essa expressão já tá melhorando bastante, mas ainda podemos manipular um pouco esse primeiro termo usando que:

Assim:

Ambos produtos mistos são nulos por envolverem o mesmo vetor. Logo:

Sendo assim, temos que:

Pra que a gente possa usar o resultado dado do volume do tetraedro maior, precisamos mexer nesse . Usando que:

Logo:

Se separarmos, o termo com será nulo. Logo:

Portanto:

Muito bom!

Pra finalizar, podemos usar o resultado do volume do outro tetraedro dado no enunciado.

Assim;

Logo:

Portanto:

Ou seja, o volume do tetraedro com vértices é .

O que nos dá a letra b).

É isso gente, muito obrigado pela atenção.

Até a próxima 😊