USP probabilidade P2 2018
Considere um experimento em que um número real R é sorteado do intervalo Ω = [0,1]. A probabilidade do número sorteado cair em um intervalo de comprimento L é L. Sejam os intervalos = [0,a] (a ∈ Ω) e = [ 1/8, 5/8]. Definem-se as variáveis aleatórias: = 1 se R ∈ , = 0 caso contrário, e analogamente = 1 se R ∈ , = 0 caso contrário.
Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?
a) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que os eventos e são independentes.
b) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que as variáveis aleatórias e são independentes.
c) A correlação entre e é sempre nula, qualquer que seja a ∈ Ω.
Passo 1
Fala galera. Essa questão é um pouco grande então vamos aos poucos. Primeiro vamos relembrar a definição de independência.
Dois eventos são ditos independentes se
Temos que
0 se a≤ 1/8
a − 1/8 se 1/8 ≤ a ≤ 5/8 1/2 c.c
Escolhendo temos:
Então ∃a ∈ Ω tal que os eventos e são independentes. Com isso terminamos a letra (a)
Passo 2
Agora vamos para a letra (b). Precisamos calcular as probabilidades de .
;
Suponha então
Logo para , são dependentes.
Passo 3
Vamos verificar agora para outros valores de
Suponha , então
E Logo para termos chance ter serem independente4s precisamos que
Vamos verificar se são independentes para esse valor de
Logo para , são independentes
Passo 4
Agora só nos resta verificar a letra (c).
Para que a correlação seja nula, precisamos que a covariância seja nula.
Tome , então:
Logo existe um tal que a covariancia é nula
Resposta
- e b)