USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 9
9) Um meliante possui um conjunto grande de chaves especiais para tentar abrir uma porta de uma mansão. A probabilidade de cada chave abrir a porta é e cada tentativa leva exatamente minutos. Uma viatura passará em exatamente minutos após o meliante começar suas tentativas e o prenderá com certeza se o meliante estiver fora da casa, mas com probabilidade se este estiver dentro da casa. Qual é o valor mais próximo da probabilidade do meliante ser preso?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaaaaala galerinha do Responde Aí! Tudo bem com vocês?
Nessa questão temos basicamente um ladrão que precisa acertar a chave de uma mansão antes que a polícia passe e prenda ele. Além disso, mesmo ele estando dentro da casa, ainda existe uma pequena chance de ser preso. O nosso objetivo é calcular a probabilidade desse meliante ser preso.
Esse exercício trabalha uma ideia suuuuper importante da combinatória/probabilidade, que é calcular o conjunto complementar. Em muitas questões acontece da probabilidade pedida ser muito difícil de calcular, mas calcular o caso oposto ser bem mais tranquilo.
Aqui é um exemplo, calcular a probabilidade do meliante ser preso envolve vários casos (ser preso sem entrar na casa, ser preso mesmo entrando na casa) e isso dificulta o cálculo. Porém, a probabilidade do meliante não ser preso é muito mais simples de calcular, e é nela que vamos investir.
Passo 2
Para o meliante não ser preso, ele precisa conseguir entrar na mansão e, além disso, torcer pra polícia não prender ele lá dentro. Então, vamos por partes.
Primeiro bora calcular a probabilidade dele entrar na mansão.
Como o tempo até a polícia passar é de 6,5 minutos e cada tentativa leva aproximadamente 2 minutos, ele só poderá realizar três tentativas. Daí, existem três possibilidades dele conseguir ter sucesso e invadir a casa:
I) Acertar a chave de primeira.
Nesse caso, temos:
II) Acertar a chave de segunda.
Nesse caso, ele precisa errar a primeira tentativa (cuja probabilidade é de e acertar a segunda tentativa. Daí:
III) Acertar a chave na última tentativa.
Aqui ele precisa errar as duas primeiras e acertar apenas a última. Então:
Massa! Assim, a probabilidade dele conseguir entrar na mansão antes da polícia chegar é de:
Passo 3
Agora, dado que ele está dentro da mansão, a probabilidade da polícia não prender ele é de:
Beleza! Como os dois eventos precisam ocorrer, temos que a probabilidade de liberdade vale:
Só que, pelo truque que a gente usou lá no início, a probabilidade de prisão vale:
Excelente! Esse cara muito provavelmente vai ser preso hahaha. Essa ideia de calcular o caso complementar é muito boa galera, guardem ela! Até mais, gente 😉
Resposta
Letra C: