(a) Se A, B e C são independentes, prove que são independentes.
(b) Nas mesmas condições, prove que são independentes.
Passo 1
Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes?
Quer dizer que
Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que:
Assim,
Como B e C são independentes podemos falar que
Assim do lado esquerdo da igualdade teremos:
E do lado direito da igualdade teremos:
Assim concluímos que
Passo 2
Agora queremos mostrar que e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que:
Essa é a nossa hipótese
A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok?
Lado esquerdo:
1º passo: Vamos chamar ok?
2º passo: Sabemos que:
Substituindo teremos:
3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos:
4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever de outra forma, assim
5º passo: Agora vamos olhar para o ... Lembra que podemos “abrir” ele?
6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas
Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade!
Lado direito:
1º passo: Podemos “abrir” o né?
2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos
Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)