Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

Ver Teoria
Exercício 15123456789101112131416

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Estatística, P1 - 2015.1, Questão 2d

O giz fornecido para a ICeX é fornecido por três fabricantes. O primeiro fabricante fornece 30 % de todo o giz, o segundo fabricante fornece 20 % e o terceiro 50 % . O primeiro fabricante produz 8 % de itens defeituosos, o segundo fabricante produz 10 % de itens defeituosos, e o terceiro fabricante produz 5 % de itens defeituosos.

Da compra realizada em um mês, são retiradas peças de giz até encontrar a 4º peça com defeito. Qual é a probabilidade de observarmos pelo menos 30 peças de giz?

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Nosso objetivo é calcular a a probabilidade de observarmos pelo menos 30 peças de giz antes de encontrar a 4º peça com defeito. Alguma ideia de como começar?

Vamos começar calculando a probabilidade de observar uma peça defeituosa. Bem, temos que

P ( d e f e i t u o s a ) = P ( d e f e i t u o s a |   v e i o   d e   3 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   2 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   1 )

Ou seja, é a soma das probabilidades condicionais da peça ser defeituosa dada que veio de cada fornecedor. Podemos fazer isso pois o conjunto dos fornecedores forma uma partição. Então como o primeiro fabricante produz 8 % de itens defeituosos, o segundo fabricante produz 10 % de itens defeituosos, e o terceiro fabricante produz 5 % de itens defeituosos. Temos que

P ( d e f e i t u o s a ) = P ( d e f e i t u o s a |   v e i o   d e   3 ) * P ( v e i o   d e   3 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   2 ) P ( v e i o   d e   2 ) +

+ P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   1 ) P ( v e i o   d e   1 )

= 0.05 * 0.5 + 0.1 * 0.2 + 0.08 * 0.3

= 6.9 %

Passo 2

Agora que sabemos qual é a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 6.9 % . Agora, Como podemos calcular a probabilidade de observarmos pelo menos 30 peças de giz antes de encontrar a 4º peça com defeito. Alguma ideia?

Podemos usar a distribuição binomial. Já que ela serve para contar a probabilidade de se obter um certo número de sucessos em n lançamentos. E essa distribuição tem a seguinte definição.

P ( x = k ) = n ! k ! ( n - k ) ! p k ( 1 - p ) n - k

onde p é probabilidade do evento de interesse e k o número de ocorrências desse evento.

Então vamos pensar aqui, vamos supor que queremos observar 30 peças de giz até encontrarmos a quarta peça? Será a probabilidade de observarmos 1 peça defeituosa e 29 normais mais Será a probabilidade de observarmos 2 peças defeituosas e 28 normais mais Será a probabilidade de observarmos 3 peças defeituosas e 27 normais mais Será a probabilidade de observarmos 4 peça defeituosas e 26 normais. As três primeiras probabilidades são binomiais com n = 30 . Ou seja são,

P ( x = 1 ) ; P ( x = 2 ) ; P ( x = 3 )

E a última probabilidade é dada por

P ( x = 3 ) * p ,   c o m   n = 29

pois para termos 4 peças defeituosas e observarmos 30 peças. A última peça precisa ser defeituosa

Agora nós precisamos fazer a soma dessas probabilidades variando o n pois queremos pelo menos 30 amostras realizadas.

Então, no final, estaremos realizando a seguinte soma

∑ n = 30 ∞ P ( x = 1 ) + P ( x = 2 ) + P ( x = 3 ) ( 1 + p )

Que claramente não iremos conseguir fazer à mão. Será necessário um computador

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

Um lote de 140 pastilhas (chips) semicondutoras é inspecionado, escolhendo-se uma amostra de cinco pastilhas. Suponha que 10 das pastilhas não obedeçam aos requerimentos dos consumidores.Quantas amost
Encontrando a probabilidade do complemento de um evento A distribuição etária dos moradores de San Ysidro, Novo México, encontra-se na tabela a seguir. Nos exercícios 47 a 50, encontre a probabilidade
A, B e C são três eventos de um mesmo espaço amostral, tais que: P B = 0,5 P C = 0,3 P B C = 0,4e P A B ⋂ C = 0,5 . Calcule P ( A⋂ B⋂ C ) .
Verifique que para dois eventos quaisquer, A1 e A2, temos que P A 1 ∪ A 2 ≤ P A 1 + P A 2 e que essa relação pode ser usada para n eventos.
Encontrando a probabilidade do complemento de um evento A distribuição etária dos moradores de San Ysidro, Novo México, encontra-se na tabela a seguir. Nos exercícios 47 a 50, encontre a probabilidade