Problema 3: Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio ?
No espaço amostral do problema 3, atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade (assim, AA tem probabilidade ).
a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaço amostral é 1.
b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida calcule a probabilidade de que B vença.
c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema 3.
Para terminar o torneio duas coisas podem acontecer:
- Vamos olhar para o caso e escrever os possíveis eventos do nosso espaço amostral:
(AA) o jogador A ganhou a primeira partida contra B e a segunda contra C.
(BB) Análogo ao caso AA. O jogador B ganhou a primeira partida contra A e a segunda contra C.
(ACC) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C. Já C, ganhou a segunda partida contra A e ganhou a terceira partida que foi contra B.
(BCC) Análogo ao caso ACC.
(ACBB) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.
(BCAA) Análogo ao caso ACBB.
Passo 2
- Vamos olhar para o caso (ii) e escrever os possíveis eventos:
(ACBB) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.
(BCAA) Análogo ao caso ACBB.
Esses dois eventos nós já vimos no caso 1, pois atendem aos dois eventos pensados, belezinha?!
Continuando...
(ACBA) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e perde.
(BCAB) O jogador B ganhou a primeira partida contra A, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra A, que foi o vitorioso. A por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com B e perde.
Show de bola?!
Passo 3
Beleza! Agora que conhecemos os possíveis resultados, podemos calcular a probabilidade de cada um ocorrer seguindo a regra do enunciado: atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade (assim, AA tem probabilidade ).
Assim:
- K=2
- K=3
- K=4
P(AA)
P(BB)
P(ACC)
P(BCC)
P(ACBB)
P(BCAA)
P(ACBA)
P(BCAB)
Então a soma das probabilidades é:
Pronto, provamos o que foi pedido na letra (A)!
Passo 4
b)
Na letra (B) precisamos calcular a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida, calcular a probabilidade de que B vença.
Se você reparar, a probabilidade de A vencer será:
Da mesma forma, a probabilidade de vencer será:
Show de bola?!
Passo 5
c)
Neste caso, queremos saber a probabilidade de termos quatro partidas sem nenhum vencedor. Isso acontecerá quando forem disputadas, ao todo, quatro partidas, porém não houve nenhum vencedor. Para isso vamos utilizar os dois possíveis cenários:
Resposta
a)
A soma das probabilidade dá
b)
c)