UFPE – Geometria Analítica – 2018.2 – P3 – Questão 1
Identifique a cônica abaixo e determine as coordenadas de um vértice no sistema .
Passo 1
Primeira coisa que a gente tem que fazer é identificar qual é a cônica que estamos tratando. Isso a gente faz pelo , certo?
O invariante igual a zero indica que a cônica é uma parábola ou um par de retas paralelas. Bom, vamos usar aquela teoria que conhecemos dos invariantes! Se a cônica está rodada de um ângulo , podemos relacionar os coeficientes da cônica “retinha” com as da rodada assim:
Bom, vamos ver qual é o ângulo então. A gente consegue achar a tangente dele assim, ó:
Epa epa epa! Pode dividir por ? Não pode não, isso aí é indeterminação!!! Mas se a tangente é indeterminada, só pode ser um ângulo:
Passo 2
Pronto, já podemos ir pra substituir lá!
Então e . Como a gente sabe lá da teoria de rotação, já que ela foi de :
Daí,
Então a nossa equação desrotacionada vai ficar:
Passo 3
Agora falta fazer a translação! Pra isso a gente completa quadrados.
Que é a equação de uma parábola! O seu vértice é o ponto :
Pra achar esses pontos no sistema é só a gente aplicar na rotação!
Resposta
A cônica é uma parábola, com vértice no ponto .