Identifique e esboce a cônica dada pela equação

x y - 4 = 0

Passo 1

Temos um x y na nossa equação, então, a cônica está rotacionada certo?

Pra eliminar o termo misto, vamos fazer uma rotação, mas antes vamos encontrar o ângulo θ :

t g 2 θ = B C - A

Como C = A = 0 , o nosso θ vale 45 ° = π 4   r a d .

Pelas relações de mudança de coordenada de x O y para u O v , vamos ter o sistema

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )

Passo 2

Tendo x e y em função de u e v , agora a gente vai substituir isso lá na equação do enunciado demorou? (lembrando que como não temos x ² e nem y ² , não precisamos encontrar os coeficientes A ' e C ' )

x y - 4 = 0

1 2 u - v 1 2 u + v - 4 = 0

1 2 u 2 - v 2 - 4 = 0

u 2 2 - v 2 2 = 4

Agora vamos dividir tudo por 4:

u 2 8 - v 2 8 = 1

Boa, isso nos dá uma hipérbole com centro C = ( 0 ,   0 ) . Abaixo temos essa hipérbole esboçada no sistema u O v (verde) e no sistema x O y (azul)

Resposta

Hipérbole.

Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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