Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação
Determine o foco, o vértice e a diretriz da cônica nas coordenadas , .
Passo 1
Encontrando o ângulo de rotação
Como temos um termo misto , vamos ter que fazer uma rotação certo?
Vamos usar a relação pra descobrir o ângulo:
No nosso caso, , e
Opa, mas como , o nosso ângulo vai ser , lembra??
Boaa, primeiro passo realizado!!
Passo 2
Convertendo o sistema para
Vamos converter o sistema (equação do enunciado) no sistema (cônica rotacionada) usando a relação:
Sabendo que :
Agora precisamos achar os coeficientes e da nossa cônica.
Passo 3
Encontrando os coeficientes e , análogos a e
Os novos coeficientes e vão ser dados pelo sistema:
Na nossa equação original, , então .
Além disso,
Então:
Somando as duas equações, temos
Substituindo na primeira linha:
Ou seja, não teremos o termo na nossa nova equação (pois ), enquanto o termo será multiplicado por .
Passo 4
Encontrando os termos lineares
Agora, vamos substituir as relações do sistema na parte linear da equação do enunciado.
Ou seeeja, vamos substituir no lugar dos termos da equação original :D
Passo 5
Escrevendo a nova equação
Com os coeficientes , e o termo linear, vamos substituir na equação (lembrando que mantemos o termo independente ):
Ajustando a equação:
Ou seja, temos uma parábola :)
Seu vértice no sistema é , seu parâmetro é , e logo, seu foco é .
Passo 6
Usando as equações do sistema pra transformar o foco e vértice pro sistema :
Então no sistema e .
Resposta
e