Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) a cada um dos planos:

  1. π : 2 x - 2 y - z + 3 = 0
  2. π : x + y + z = 0
  3. π : 2 x + y = 3

Passo 1

Mais uma vez usaremos nossa formulinha marota:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Começando pela letra a, temos que   n → = ( 2 ,   - 2 ,   - 1 ) e d = 3 . Também sabemos que que

P = 2 ,   - 1 ,   2 .

Colocando na fórmula,

d P , π = 2 × 2 + ( - 2 ) × ( - 1 ) + ( - 1 ) × 2 + 3 2 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 7 3   u . c

Passo 2

Vamos fazer a letra b agora!

O nosso vetor normal é   n → = ( 1 , 1 ,   1 ) e d = 0 , o ponto é o mesmo. Vamos substituir esses valores na fórmula aí de baixo

Ficaremos com:

d P , π = 1 × 2 + 1 × ( - 1 ) + 1 × 2 + 0 1 2 + 1 2 + 1 2

d P , π = 3 3 = 3   u . c

Passo 3

Falto só a letra c! Bora terminar esse exercício!!

n → = ( 2 ,   1 ,   0 ) e d = - 3 , o ponto continua o mesmíssimo.

A “formulosa” fica assim ô:

d P , π = 2 × 2 + 1 × ( - 1 ) + 0 × 2 + ( - 3 ) 2 2 + 1 2 + 0 2 = 0

Resposta

  1. 7 3 u . c
  2. 3 u . c
  3. 0

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5