Considere o ponto de , a reta de equações paramétricas

E o plano de equação cartesiana

1. Calcule a distância do ponto ao plano e as coordenadas do ponto do plano mais próximo de .
2. Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto e a reta .
3. Considere o ponto e o plano de de equação cartesiana

Observe que . Determine uma equação paramétrica da reta contida no plano que contém e é perpendicular a .

4. Considere a reta de equações paramétricas

Determine para que as retas e se interceptem em um ponto.

Show de bolas, agora que a gente sabe o vetor diretor e o ponto , podemos escrever nossa equação da reta :

Logo, temos que:

Portanto, os pontos que pertencem a reta , satisfazem essa igualdade, dado o parâmetro . Belezoca, sabendo disso, também podemos lembra que os ponto que pertencem ao plano são dados pela relação:

E agora que a brincadeira fica legal, porque podemos pegar os pontos que calculamos da reta , e substituir no plano pra ver onde eles se interceptam, o famoso ponto . Logo:

IRADOSO, então quer dizer que a reta e o plano se interceptam em , e substituindo em:

Descobrimos que:

Portanto o ponto mais próximo do ponto é dado por:

Então a distância agora é só a gente fazer , logo:

Logo, a distância em módulo é dada por:

Então a distância entre o ponto e o plano é:

Belezera então galerinha, na letra (b) estamos a fim de encontrar um plano que contenha tanto o ponto quanto a reta :

Maass, para encontrarmos um plano, precisamos de dois vetores diretores, para duas direções diferentes, por enquanto temos apenas o vetor diretor da reta , que é dado pelos coeficientes que acompanham :

Agora, o outro vetor diretor, pode ser qualquer outro que ligue algum ponto da reta até o ponto . Esse vetor que faz essa ligação, também estará no plano, e vai nos garantir que o plano contenha o ponto .

Então como pode ser qualquer ponto da reta , vamos por exemplo pegar o ponto para . Temos:

Logo, o segmento que liga o ponto ao ponto é:

Portanto os vetores que forma o plano são:

E para encontrar a equação desse plano, a gente pode aplicar o produto vetorial e encontrar os coeficientes da equação, assim ó:

Então a equação do plano que contém o ponto e a reta é:

Agora na letra (c), temos o ponto e o plano de de equação cartesiana

Queremos encontrar a equação de uma reta que pertença a , que contenha o ponto e ainda por cima seja perpendicular a .

Mas perai, vamos com calma. A equação dessa reta de forma geral é:

Onde é o vetor diretor de . MAASSSS é ai que começa a malandragem, porque se a reta pertence a quer dizer que o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores de .

Então bora descobrir os vetores diretores de .

O plano é dado por:

Como a variável não está envolvida na equação, quer dizer que o eixo é um dos vetores diretor de . E o outro, podemos colocar em função de , saca só:

Logo:

Logo, o plano é gerado por:

Belezoca, então temos duas opções para o vetor diretor de . MAASSS, o enunciado também afirma pra gente que a reta é perpendicular a reta . Isso quer dizer que o produto interno entre os vetores diretores dessas retas, resulta em . E como o vetor diretor é , temos que:

E testando para , temos:

Então não é esse. Testando o outro então:

E aí está o danado, quer dizer que o vetor é o vetor diretor da reta . Portanto:

Logo: