Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere o ponto P = 1 ,   0 ,   1 de R 3 , a reta r de equações paramétricas

r : x = 2 + t ,     y = 1 - t ,     z = 2 + 2 t ,     t ∈ R

E o plano π de equação cartesiana

π : x + 2 y - z = 1

  1. Calcule a distância do ponto P ao plano π e as coordenadas do ponto M do plano π mais próximo de P .
  2. Determine a equação cartesiana do plano ρ que contém o ponto P e a reta r .
  3. Considere o ponto Q = 2,1 , 2 ∈ r e o plano τ de R 3 de equação cartesiana
  4. τ : x - y = 1

    Observe que Q ∈ τ . Determine uma equação paramétrica da reta s contida no plano τ que contém Q e é perpendicular a r .

  5. Considere a reta r ' de equações paramétricas

r ' : x = 1 + t ,     y = a + t ,     z = t ,     t ∈ R

Determine a para que as retas r e r ' se interceptem em um ponto.

Passo 1

Belezera então galerinha, na letra (a), queremos calcular a distância do ponto P ao plano π , e além disso também queremos as coordenadas do ponto M do plano π mais próximo de P .

Vamos com carinho galera, primeiro vamos tentar imaginar um plano e um ponto no espaço, solto (pode ser qualquer ponto e qualquer plano, só imagina), seria algo mais ou menos assim:

Se conseguissemos traçar uma reta que passa pelo P e cruza o plano com a menor distância possível, estariamos encontrando a distância o ponto M ao mesmo tempo, tipo assim:

Vamos chamar essa reta que cruza o ponto P de s , ela teria uma cara mais ou menos assim:

s = P + t v →

Onde v → é o vetor diretor da reta. E esse vetor diretor, como temos que encontrar a menor distância, é o mesmo que o vetor normal do plano, dado o plano:

π : x + 2 y - z = 1

O vetor normal ao plano é formado pelos coeficientes da equação, temos o seguinte:

π : 1 x + 2 y + - 1 z = 1

Logo, o vetor normal/diretor é:

v → = 1 ,   2 ,   - 1

Passo 2

Show de bolas, agora que a gente sabe o vetor diretor e o ponto P , podemos escrever nossa equação da reta s x ,   y ,   z :

s x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t 1 ,   2 ,   - 1

Logo, temos que:

x = 1 + t y = 2 t z = 1 - t

Portanto, os pontos que pertencem a reta s , satisfazem essa igualdade, dado o parâmetro t . Belezoca, sabendo disso, também podemos lembra que os ponto que pertencem ao plano π são dados pela relação:

π : x + 2 y - z = 1

E agora que a brincadeira fica legal, porque podemos pegar os pontos que calculamos da reta s , e substituir no plano π pra ver onde eles se interceptam, o famoso ponto M . Logo:

x + 2 y - z = 1

1 + t + 2 2 t - 1 - t = 1

1 + t + 4 t - 1 + t = 1

6 t = 1

t = 1 6

IRADOSO, então quer dizer que a reta s e o plano π se interceptam em t = 1 6 , e substituindo em:

x = 1 + t y = 2 t z = 1 - t

Descobrimos que:

x = 1 + 1 6 = 7 6 y = 2 1 6 = 1 3 z = 1 - 1 6 = 5 6

Portanto o ponto M mais próximo do ponto P é dado por:

M = 7 6 , 1 3 , 5 6

Passo 3

Então a distância agora é só a gente fazer M - P , logo:

M - P = 7 6 , 1 3 , 5 6 - 1 ,   0   1

M - P = 1 6 , 1 3 ,   - 1 6

Logo, a distância em módulo é dada por:

1 6 , 1 3 ,   - 1 6 = 1 6 , 1 3 ,   - 1 6 ,   1 6 , 1 3 ,   - 1 6

1 6 , 1 3 ,   - 1 6 = 1 36 + 1 9 + 1 36 = 6 36

1 6 , 1 3 ,   - 1 6 = 6 6

Então a distância entre o ponto e o plano é:

d = 6 6

Passo 4

Belezera então galerinha, na letra (b) estamos a fim de encontrar um plano ρ que contenha tanto o ponto P quanto a reta r :

r : x = 2 + t ,     y = 1 - t ,     z = 2 + 2 t ,     t ∈ R

Maass, para encontrarmos um plano, precisamos de dois vetores diretores, para duas direções diferentes, por enquanto temos apenas o vetor diretor da reta r , que é dado pelos coeficientes que acompanham t :

v r = 1 ,   - 1 ,   2

Agora, o outro vetor diretor, pode ser qualquer outro que ligue algum ponto da reta r até o ponto P . Esse vetor que faz essa ligação, também estará no plano, e vai nos garantir que o plano contenha o ponto P .

Então como pode ser qualquer ponto da reta r , vamos por exemplo pegar o ponto para t = 0 . Temos:

r : x = 2 + 0 ,     y = 1 - 0 ,     z = 2 + 2 0 ,     t = 0

R x ,   y ,   z = 2 ,   1 ,   2

Logo, o segmento que liga o ponto R ao ponto P é:

P R - = R - P = 2 ,   1 ,   2 - 1 ,   0 ,   1

P R - = 1 ,   1 ,   1

Portanto os vetores que forma o plano ρ   são:

ρ = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   2

E para encontrar a equação desse plano, a gente pode aplicar o produto vetorial e encontrar os coeficientes da equação, assim ó:

i j k 1 1 1 1 - 1 2 = 3 i - j - 2 k

Então a equação do plano ρ que contém o ponto P e a reta r é:

3 x - y - 2 z = 0

Passo 5

Agora na letra (c), temos o ponto Q = 2 ,   1 ,   2 ∈ r e o plano τ de R 3 de equação cartesiana

τ : x - y = 1

Queremos encontrar a equação de uma reta s que pertença a τ , que contenha o ponto Q e ainda por cima seja perpendicular a r .

Mas perai, vamos com calma. A equação dessa reta s de forma geral é:

s = Q + t v →

Onde v → é o vetor diretor de s . MAASSSS é ai que começa a malandragem, porque se a reta pertence a τ quer dizer que o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores de τ .

Então bora descobrir os vetores diretores de τ .

Passo 6

O plano τ é dado por:

τ : x - y = 1

Como a variável z não está envolvida na equação, quer dizer que o eixo z é um dos vetores diretor de τ . E o outro, podemos colocar em função de y , saca só:

x = 1 + y

Logo:

x ,   y ,   z = 1 + y ,   y ,   z

1 + y ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   0 + y 1 ,   1 ,   0 + z 0 ,   0 ,   1

Logo, o plano τ é gerado por:

τ = 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1

Belezoca, então temos duas opções para o vetor diretor de s . MAASSS, o enunciado também afirma pra gente que a reta s é perpendicular a reta r . Isso quer dizer que o produto interno entre os vetores diretores dessas retas, resulta em 0 . E como o vetor diretor r é 1 ,   - 1 ,   2 , temos que:

v → , 1 ,   - 1 ,   2 = 0

E testando para 0 ,   0 ,   1 , temos:

0 ,   0 ,   1 , 1 ,   - 1 ,   2 = 0 + 0 + 2 ≠ 0

Então não é esse. Testando o outro então:

1 ,   1 ,   0 , 1 ,   - 1 ,   2 = 1 - 1 + 0 = 0

E aí está o danado, quer dizer que o vetor 1 ,   1 ,   0 é o vetor diretor da reta s . Portanto:

s = Q + t v →

s = 2 ,   1 ,   2 + t 1 ,   1 ,   0

Logo:

s :     x = 2 + t ,     y = 1 + t ,     z = 2

Resposta

  1. M = 7 6 , 1 3 , 5 6 , d = 6 6
  2. 3 x - y - 2 z = 0
  3. s :     x = 2 + t ,     y = 1 + t ,     z = 2

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Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
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Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5