USP – Álgebra Linear – P2 2021 – Questão 9
Assuma orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em de base ortonormal e positiva.
Seja . A distância entre o ponto e o plano é menor ou igual a se, e somente se, pertence ao intervalo
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aíí cara, tranquilo? Então vamos lá resolver esse exercício
Temos o ponto e o plano
E aí o que acontece aqui é que queremos que a distância entre o ponto e o plano seja menor ou igual a , ou seja
E queremos saber qual o intervalo de valores que o pode assumir pra isso acontecer. Só relembrando a notação de intervalo: dizer que o valor deve estar no intervalo significa dizer que , suave?
Mas então para resolver esse exercício, vamos usar a fórmula de distância entre ponto e plano. Tendo um plano de equação geral e um ponto , a distância entre eles vai ser:
E aí vamos ver quando essa distância vai ser menor ou igual a , demorou?
Passo 2
Queremos escrever a fórmula de distância entre o plano e o ponto . Vai ficar assim:
E queremos que essa distância seja , então:
Showw, agora é só encontrar os valores de que cumprem com isso 😊
Passo 3
Temos:
Então vamos desenvolver essa inequação e encontrar os valores de que cumprem com a condição.
Então:
Temos uma inequação com módulo do tipo . Nesses casos, podemos tirar o módulo escrevendo . Então:
Passo 4
Então nossa inequação ficou assim:
Do lado esquerdo, temos
E do lado direito, temos
Logo, encontramos que o tem que estar nesse intervalo:
E assim, a distância de ao plano vai ser menor ou igual a 😊
Então, a alternativa correta é a letra B, que dá o intervalo
Resposta
b)