USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P1 - 2019, Questão 14
Sejam pontos de que não estão em um mesmo plano e seja o ponto do segmento tal que Se são números reais tais que então o produto vale:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Fala aí galerinha, tudo na paz?
Nessa questão temos um enunciado beeem enxuto. Basicamente, e são pontos de e é um ponto que está no segmento e satisfaz:
Daí, o enunciado escreve em função de outros vetores da seguinte forma:
O objetivo é que calculemos quanto vale
Alguma ideia de como podemos fazer isso?
Bom, acho que a melhor ideia é tentarmos escrever como soma de alguns vetores mais intuitivos até chegarmos na expressão em função de .
Vem junto comigo que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Olha, pelo enunciado sabemos que é um ponto no segmento . Assim, podemos escrever:
Já vale:
Somando e subtraindo no lado direito da equação, temos:
Reorganizando um pouco:
Substituindo de volta, temos:
Muito bom!
Pra ficar bonito como queremos falta só fazer aparecer
Passo 3
No passo anterior chegamos que:
O problema todo tá nesse . Mas o enunciado falou que:
Precisamos interpretar um pouco essa informação. é um segmento, e está no interior desse segmento, dividindo-o de modo que
Mas, podemos escrever também que:
Ou seja, é como se o ponto dividisse o segmento em duas partes, de modo que:
Assim, voltando na nossa equação principal, vem:
E isso ajudou muito, vamos olhar com mais carinho pra :
Somando e subtraindo dos dois lados, vem:
Assim, temos:
Comparando com o que queríamos chegar:
Temos:
Portanto:
Assim, chegamos na resposta: letra a).
Resposta
Letra a).