Álgebra linear I, USP, P2, 2016, Questão 3
Considere os pontos , e a reta
Seja um plano tal que , a reta não intersecte e o ponto não pertença a . Se são tais que uma equação geral para é
Então é igual a
;
Passo 1
Falaaa, belezinha?? Bora lá para mais um probleminha.
Essa questão nos dá muita informação, vamos tentar separar elas e ir organizando as coisas aos poucos, primeiro vamos usar o fato de .
Para isso, vamos lembrar que se temos um plano do tipo:
E um ponto podemos calcular a distância desse ponto ao plano pela seguinte relação:
Passo 2
Vamos aplicar isso nos pontos e plano da questão:
Lembrando que , e
e
Porém, sabemos que esses carinhas são iguais, ou seja:
O que nos dá que:
E por isso, temos duas opções:
E dessa última, tiramos que:
Passo 3
Então, vamos lá, usando uma das trocentas informações, tiramos que:
são possíveis opções para nosso .
Agora, vamos guardar isso, e olhar para o fato da reta não cortar o nosso plano .
Para entender o que está ocorrendo, vamos pensar no seguinte. Temos 3 opções para uma reta e um plano se comportarem no espaço:
A reta está sobre o plano
A reta corta o plano em 1 ponto
A reta é paralela ao plano
Como na questão a reta não corta o plano, o que nos resta (olhando para as opções acima) é que a reta é paralela ao plano.
Agora pense, se temos uma reta paralela ao plano, o que podemos dizer do vetor diretor dessa reta e do vetor normal ao plano??
Podemos dizer que o vetor diretor da reta, que no caso do problema é o é perpendicular ao vetor normal ao plano, talvez para pensar nisso, pense que o vetor normal ao plano é perpendicular aos vetores do plano, que por sua vez são paralelos a , ou seja, o vetor normal será perpendicular a também.
Mas você sabe me dizer qual é o vetor normal ao plano? Para isso vamos lembrar o seguinte conceito:
Seja um plano qualquer do tipo, temos que é perpendicular a .
Passo 4
Ou seja, unindo tudo isso, temos que
Ou ainda:
Logo, desenvolvendo esse produto interno:
Agora, vamos com calma, pois temos duas opções para .
(Caso )
Colocando na equação acima, temos que
Usando que
Temos:
Ou seja, colocando a segunda equação na primeira:
Passo 5
Organizando, temos as seguintes soluções:
Para ver se alguma delas é a solução verdadeira usaremos o fato de que não tá no plano. Ou seja, podemos fazer a seguinte “conta”:
Vamos pedir isso , pois caso fosse igual a zero, teríamos que esse ponto tá no plano, o que não queremos.
Voltando...
Ou seja
E isso exclui nossa segunda possível solução, sobrando que:
Veja que analisamos apenas o caso , até agora, porém ele já nos deu uma possível resposta, basta checarmos se quando colocarmos esses pontos em dará certo, caso isso ocorra todas as necessidades do enunciado estão sendo feitas e nem precisamos ver o outro caso.
Veremos se para
Logo dá certo, e por isso chegamos a uma resposta, temos que:
Resposta
Letra C