Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Dê uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e dista 2 do ponto P = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

Precisamos encontrar a equação geral do plano π . Para isso, precisamos encontrar o vetor normal ao plano e um ponto que pertence à ele. O ponto nós já temos, pois o enunciado nos diz que a reta r está contida no plano, então o ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) pertence à π . Falta, acharmos o vetor normal n → = ( a ,   b ,   c ) . Para isso, temos duas informações: de que o plano dista 2   do ponto ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e como r está contida no plano, isso significa que eles são paralelos também

Passo 2

Começando pelo paralelismo, sabemos que reta e plano são paralelos se:

a e + b f + c g = 0

Sendo a ,   b ,   c incógnitas e e ,   f ,   g = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) que são as coordenadas do vetor diretor de r , então:

a + b - c = 0 →   c = a + b

Temos uma primeira relação.

Se sabemos que a equação geral de um plano é a x + b y + c z + d = 0 e temos um ponto que pertence ao plano ( 1 ,   0 ,   1 ) , conseguimos achar d :

a + c + d = 0 → d = - a - c

Temos uma segunda relação. E substituindo a primeira na segunda, temos:

Beleza?!

Passo 3

A terceira obteremos fazendo a distância entre o ponto ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e ( a ,   b ,   c , d ) que sabemos que vale 2 . Agora, sim, vamos colocar na fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

2 = a + b - c + d a 2 + b 2 + c 2

Substituindo a relação d = - 2 a - b e c = a + b , temos:

2 = a + b - c + d a 2 + b 2 + c 2 → 2 = a + b - a - b - 2 a - b a 2 + b 2 + ( a + b ) 2

Resolvendo:

2 = - 2 a - b 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b

Elevando ao quadrado:

2 .   2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b = ( - 2 a - b ) 2

4 a 2 + 4 b 2 + 4 a b = 4 a 2 + 2 b 2 + 4 a b

Se b = 0 , então:

c = a

d = - 2 a

Assim, os coeficientes da equação geral do plano são:

a ,   0 ,   a ,   - 2 a = ( a ,   b ,   c ,   d )

Então, a equação do plano é:

S e   a = 1

x + z - 2 = 0

Resposta

x + z - 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5