USP – Álgebra Linear – P2 2021 – Questão 10
Assuma orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em de base ortonormal e positiva.
A distância entre o ponto e o plano
É
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Oiii pessoal, belezinha? Vamos pra mais uma de distância entre ponto e plano 😉
Temos esse plano :
E o ponto
E aí queremos encontrar a distância entre e .
Tendo um plano de equação geral e um ponto , a distância entre eles vai ser:
Mas nesse exercício, nosso amigo complicou a nossa vida dando as equações paramétricas do plano hahaha
Então vamos primeiro procurar a equação geral de . E aí depois usamos a fórmula de distância, ok?
Ta colega, mas como fazemos isso? Vamos lá entender!
Passo 2
Se um plano contém um ponto e tem os vetores diretores e , suas equações paramétricas são
E aí podemos encontrar a equação geral a partir disso. A equação geral vai ser , onde:
Ou seja, o vetor normal do plano é ortogonal aos vetores diretores dele
Tendo o vetor normal, podemos substituir o ponto na equação para encontrarmos o valor de 😉
Passo 3
Então vamos lá transformar essas equações paramétricas:
Em uma equação geral
Comparando essas equações com a forma genérica que vimos no passo 2, temos que
- O ponto está no plano
- O plano tem vetores diretores e
Então vamos começar encontrando o vetor normal do plano:
O produto vetorial é dado por esse determinante:
Calculando o determinante:
Então:
Logo, a equação geral do nosso plano vai ter esse formato:
Agora só falta encontrar o valor de 😊
Passo 4
A equação geral do nosso plano vai ser assim:
E sabemos que o ponto está nesse plano
Então, vamos substituir :
Ebaaa, já temos o valor de !!
Então encontramos a equação geral do plano:
Agora é só encontrar a distância desse plano até o ponto
Passo 5
Queremos encontrar a distância entre o plano e o ponto
Vamos substituir na fórmula lá do passo 1:
Então, a distância entre o ponto e o plano é
E a alternativa correta é a letra E
Resposta
e)