Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Ache os pontos da reta r : x - 1 = 2 y = z que equidistam dos planos

π 1 : 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0               e                 π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

Passo 1

Esse exercício é parecido com o anterior!! Mas, agora, queremos descobrir os pontos da reta r que são equidistantes dos planos π 1 e π 2 . Para isso, se temos um ponto R que pertence à reta r , então:

d R ,   π 1 = d ( R ,   π 2 )

Passo 2

Precisamos primeiro achar o ponto genérico R ! Para isso, vamos primeiro colocar a equação que nos foi dada na forma simétrica para então podermos tirar os dados e escrever a equação vetorial da reta:

x - 1 1 = 2 y = z 1 →   x - 1 1 = y 1 2 = z 1

Então, P = ( 1 ,   0 ,   0 ) e r → = ( 1 , 1 2 ,   1 ) . Montando a equação vetorial temos:

r : X = 1 ,   0 ,   0 + t 1 , 1 2 ,   1

Assim, conseguimos escrever R :

R = 1 + t , t 2 ,   t

Passo 3

Sabendo R e sabendo que para π 1 : a ,   b ,   c ,   d = ( 2 ,   - 3 ,   - 4 - 3 ) e π 2 : a ,   b ,   c ,   d = ( 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   3 ) . Podemos colocar os valores na fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d R ,   π 1 = 2 . 1 + t - 3 . t 2 - 4 . t - 3 2 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 4 ) 2 = - 1 - 7 t 2 29

d R ,   π 1 = - 1 - 7 t 2 29

d R ,   π 2 = 4 . 1 + t - 3 . t 2 - 2 . t + 3 4 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 7 + t 2 29

d R ,   π 2 = 7 + t 2 29

Igualando d R ,   π 1 = d ( R ,   π 2 ) :

Elevando os dois membros ao quadrado:

- 1 - 7 t 2   2 = 7 + t 2 2

1 + 7 t + 49 t 2 4 = 49 + 7 t + t 2 4

48 t 2 4 = 48 →   t 2 = 4

t = ± 2

Passo 4

Agora que sabemos que t = ± 2 , podemos substituir em R = 1 + t , t 2 ,   t :

S e   t = 2 → 3 ,   1 ,   2

S e   t = - 2 → ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Então, os pontos equidistantes são:

3 ,   1 ,   2       e       ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Resposta

3 ,   1 ,   2       e       ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 )

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