Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Considere as seguintes retas em R 3 :

r 1 : 3 , - 1,0 + s 1,2 , 1 ,   s ∈ R

r 2 = { 0,2 , 3 + t 1,0 , - 1 ,   t ∈ R }

(b) Ache um vetor n ortogonal aos vetores 1,2 , 1 e ( 1,0 , - 1 ) .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano Π que é ortogonal ao vetor n e contém o ponto P = ( 3 , - 1,0 ) de r 1 . Determine se a reta r 1 está contida no plano Π .

(d) Determine a distância d entre o plano Π e a reta r 2 .

(e) Determine explicitamente um ponto B do plano Π tal que a distância entre B e r 2 seja d.

Passo 1

(b) Se queremos achar um vetor ortogonal a ( 1,2 , 1 ) e 1,0 , - 1 , basta fazer o produto vetorial entre eles:

Ou seja, qualquer vetor paralelo a ( - 2,2 , - 2 ) é ortogonal a esses dois vetores.

Podemos escolher por exemplo:

n = ( - 1,1 , - 1 )

Passo 2

(c) A equação cartesiana do plano é da forma:

a x + b y + c z + d = 0

Onde (a,b,c) são as coordenadas de um vetor normal ao plano.

Como o plano tem que ser ortogonal ao vetor n = ( - 1,1 , - 1 ) achado na letra (b), então a equação fica:

- x + y - z + d = 0

Esse plano também deve conter o ponto P = ( 3 , - 1,0 ) .

Substituindo as coordenadas do ponto nessa expressão:

- 3 - 1 - 0 + d = 0 ⇒ d = 4

Logo, a equação do plano Π é:

- x + y - z + 4 = 0

Agora precisamos dizer se a reta r 1 está contida no plano Π .

Bom, os pontos da reta são da forma:

3 + s , 2 s - 1 , s

Substituindo x,y e z na equação do plano por essas coordenadas, vamos obter:

- 3 + s + 2 s - 1 - s + 4 = 0

0 = 0

Ou seja, todos os pontos de r 1 satisfazem a equação do plano Π .

Então todos os pontos da reta r 1 pertencem ao plano Π e a reta está contida no plano.

Passo 3

(d) Agora precisamos achar a distância entre Π e r 2 , mas antes vamos ver a posição relativa entre eles.

O vetor diretor da reta r 2 é ( 1,0 , - 1 ) e o vetor normal do plano Π é (-1,1,-1).

Fazendo o produto interno entre eles:

1,0 , - 1 , - 1,1 , - 1 = - 1 + 1 = 0

Ou seja, os dois são ortogonais entre si.

Logo, a reta é paralela ao plano.

Isso significa que todos os pontos da reta estão à mesma distância do plano.

Então pra achar a distância entre eles, eu posso escolher um ponto qualquer da reta r 2 e calcular a distância desse ponto ao plano através da formulazinha:

d i s t â n c i a = | a x o + b y o + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

Vamos escolher o ponto R = ( 0,2 , 3 ) de r 2 .

Substituindo na fórmula:

d i s t â n c i a = | - 1 0 + 1 2 + - 1 3 + 4 | - 1 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 3 3 = 3

Passo 4

(e) Vimos, no item (d), que qualquer ponto da reta está a mesma distância do plano, e usamos o ponto R = ( 0,2 , 3 ) para achar essa distância d = 3 .

Agora precisamos achar o ponto S no plano que está a essa distância desse ponto R.

É mais ou menos assim:

Vamos considerar a reta s de vetor diretor igual ao vetor normal do plano e que contém o ponto R .

Sua equação é:

s : 0,2 , 3 + t - 1,1 , - 1 ,   t ∈ R

Nesse caso, o ponto S é a interseção dessa reta s com o plano Π .

Os pontos da reta s satisfazem:

x = - t

y = 2 + t

z = 3 - t

Substituindo esses valores na equação do plano Π :

- x + y - z + 4 = 0

t + 2 + t - 3 + t + 4 = 0

∴ t = - 1

Logo, a interseção do plano Π com a reta s vai ter coordenadas:

x = 1

y = 1

z = 4

Esse ponto é justamente o ponto S que estávamos buscando!

Portanto:

S = ( 1,1 , 4 )

Resposta

(b)   n = ( - 1,1 , - 1 ) (ou qualquer múltiplo escalar desse vetor)

(c) Π :   - x + y - z + 4 = 0

A reta r 1 está contida no plano Π .

(d) 3

(e) S = ( 1,1 , 4 )

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Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z