Geometria Analítica – UFPE – 2° EE
Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.
- O lugar geométrico dos pontos , tais que , é uma reta.
- Os planos e , são transversais para todo valor de .
- A distância do ponto até a reta de interseção dos planos , e , é menor que 2,5.
Passo 1
Bom, queremos verificar agora a distância do ponto a reta obtida pela interseção dos dois planos.
Nosso primeiro passo então é obter esta reta, que é dada pela solução do seguinte sistema:
Portanto, um ponto pertence a reta se ele satisfaz o sistema acima. Substituindo e na equação do ponto, temos:
Colocando o em evidência, temos:
Passo 2
Agora, podemos calcular a distância entre a reta e o ponto. Seja o ponto dado na questão, um ponto pertencente a reta (poderia ser qualquer ponto, então pegamos o ponto explicitado na equação da reta) e um vetor diretor da reta (novamente, poderia ser qualquer vetor diretor, mas pegamos o já explicitado na equação da reta).
Para calcularmos a distância entre o ponto e a reta , basta utilizarmos a seguinte relação:
Vamos começar calculando o vetor . Então,
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Portanto,
Agora, para podermos finalizar a questão e checarmos se a distância realmente é menor que 2,5, falta obtermos as normas destes vetores. Lembrando que a norma é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas (a base é a canônica, que é ortonormal), temos:
Portanto, a distância é:
Portanto, a afirmação é verdadeira!
Resposta
A afirmativa é verdadeira.