Queremos fazer a direção de polarização de um feixe de luz polarizada girar de fazendo o feixe passar por um ou mais filtros polarizadores.
- Qual é o número mínimo de filtros necessário?
- Qual é o número mínimo de filtros necessário se a intensidade da luz transmitida deve ser mais de da intensidade original?
Passo 1
Letra a)
Se tentássemos colocar um polarizador com eixo perpendicular à direção de polarização da luz nós não teríamos luz transmitida.
Porém, se colocássemos um segundo polarizador entre a luz e o filtro inicial de forma que ele fizesse um ângulo com a direção de polarização da luz, as ondas que sairiam dele não seriam perpendiculares ao eixo do segundo polarizador, e assim nós conseguimos girar o feixe de luz em com apenas 2 polarizadores.
O número mínimo de filtros necessário é dois.
Passo 2
Letra b)
Sabemos que a intensidade da luz que sai de um sistema composto por vários polarizadores depende do ângulo entre cada par de polarizadores consecutivos.
Se o ângulo entre esse par de filtros for , a intensidade da luz que sai do segundo polarizador vai ser dada pela lei de Malus.
Assim, quanto maior o nosso ângulo , menor a intensidade transmitida. Isso significa que não poderemos usar ângulos muito grandes entre eles.
Passo 3
Vamos considerar que o ângulo entre quaisquer dois polarizadores consecutivos é igual, e que temos polarizadores. Para girarmos , precisamos ter, em média:
Quando a luz passar pelo primeiro polarizador, a intensidade emergente vai ser:
Quando ela passar pelo segundo:
Pelo terceiro:
E por aí vai, até que ao passar pelo sistema todo, teremos:
Mas o enunciado pede que:
Ou seja, precisamos achar o valor de para o qual:
Acontece que isso não é nem de longe uma equação fácil de resolver.
Passo 4
Embora a nossa equação não seja fácil de resolver, nós podemos forçar a barra.
Como é o número de polarizadores, ele só pode ser um número natural
Então, vamos testar a fórmula com vários valores de e ver quando que chegamos lá. Se dermos sorte, o que procuramos não vai ser um valor muito grande tipo ou algo assim.
Por sorte, o nosso valor então é !
(Não foi sorte, eu já sabia que ia ser , mas porque eu fiz antes de explicar aqui como faz. Mas a primeira vez que a gente faz é na sorte mesmo)
Se usássemos ângulos que variassem, embora as contas fossem mudar um pouco, nosso resultado não iria.
Isso é porque caso colocássemos um polarizador com ângulo muito pequeno, pra perder pouca intensidade, até chegarmos a , o próximo teria que ser muito grande e perderia muita intensidade, e vice versa.
Por isso no fim nós recairíamos em polarizadores de qualquer forma. Você pode pensar em como sendo o “valor médio” da fração de intensidade transmitida. Se um polarizador transmitir mais que isso, o próximo vai ter que transmitir menos (para a luz girar com o mínimo de polarizadores possível).
O máximo que, talvez, poderíamos conseguir é atingir um valor ainda mais próximo de .
Resposta
Letra a)
O mínimo de filtros necessários para a polarização da luz girar são filtros.
Letra b)
O mínimo de filtros necessários para a polarização da luz girar com da intensidade inicial são filtros.