P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.1

Sejam , e . Considere uma transformação linear tal que

1. Seja . Determine:

a.1)

a.2)

b) Determine e .

c) Determine , onde é a base canônica de .

Considere a matriz

c) Justifique a afirmação verdadeira: é ortogonalmente diagonalizável.

Considere a matriz

e) Determine, se possível, . Caso contrário, justifique.

Considere a matriz

1. Determine os autovalores de .
2. Determine, para cada autovalor, o autoespaço associado.

Considere a matriz

d) Diagonalize ortogonalmente , ou seja, encontre ortogonal e diagonal tais que .

Sejam o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois e o espaço vetorial das matrizes de duas linhas e uma coluna. Considere a transformação dada por

1. Mostre que é uma transformação linear.
2. Determine
3. Encontre, se possível, um polinômio de grau um e tal que . Caso contrário, justifique.
4. Encontre, se possível, um polinômio não nulo pertencente ao núcleo de , ou seja, tal que . Caso contrário, justifique.
5. Determine , ou seja, determine o posto de .

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

1. Se é uma transformação linear, então a imagem de é um espaço vetorial.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

1. Se é uma transformação linear, então o núcleo de é um espaço vetorial.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

c) Seja o espaço vetorial das matrizes . Se é a transformação linear definida por Onde é uma matriz fixa, então tem posto .