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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

  1. Se T   : V → W é uma transformação linear, então o núcleo de T é um espaço vetorial.

Passo 1

a)

O núcleo é um subconjunto de V que herda suas operações de soma e produto, então para saber se é um espaço vetorial, não precisamos os axiomas dessas operações. Lembrando que núcleo são os vetores u tal que T u = 0 , vamos aos 3 passos de sempre.

Passo 2

T 0 = T v - v = T v - T v = 0

Ou seja, T 0 = 0 , então o núcleo contém o vetor nulo.

Passo 3

Seja u , v   ∈ N u c ( T ) , ou seja, T u = T v = 0 . Temos então:

T u + v = T u + T v = 0 + 0 = 0

Vimos então que se u e v estão no núcleo, u + v também está. O que significa que ele é fechado para soma.

Passo 4

Seja agora u ∈ N u c T e λ ∈ R :

T λ u = λ T u = λ 0 = 0

Ou seja, múltiplos de vetores do núcleo estão também no núcleo.

Como as operações de soma e produto do núcleo são herdadas de um espaço vetorial, elas satisfazem os axiomas. Além disso, ele contém o vetor nulo e é fechado para a soma e produto, logo é um espaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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