Sejam o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois e o espaço vetorial das matrizes de duas linhas e uma coluna. Considere a transformação dada por
- Mostre que é uma transformação linear.
- Determine
- Encontre, se possível, um polinômio de grau um e tal que . Caso contrário, justifique.
- Encontre, se possível, um polinômio não nulo pertencente ao núcleo de , ou seja, tal que . Caso contrário, justifique.
- Determine , ou seja, determine o posto de .
Passo 1
a)
Então, esse primeiro item pede pra gente mostrar que essa transformação é linear, mas ela é meio estranha né? Vamos tentar escrever de um jeito que estamos mais acostumados:
Vamos trocar esse por , substituindo quando necessário:
Passo 2
Olha só que interessante, o vetor que sai da transformação só depende de . Então para facilitar nossa vida, podemos trabalhar com os coeficientes e não com o polinômio todo! Dessa forma:
Colocando esses coeficientes em linhas temos:
Hum... descobrimos que se trabalharmos com os coeficientes dos polinômios temos uma forma matricial pra nossa transformação, (se quiser, tem até um nome bonito pra isso: isomorfismo) como matrizes são sempre lineares, nossa transformação em questão é linear!
Passo 3
b)
Usando a mesma ideia do item anterior:
Passo 4
c)
Um polinômio de grau 1 tem a forma , usando a forma encontrada anteriormente:
Logo teremos o sistema:
Fazendo a segunda linha menos a primeira:
Substituindo na primeira:
Então temos o polinômio
Passo 5
d)
Usaremos um polinômio da forma , usando a forma encontrada anteriormente:
Queremos que ele esteja no núcleo, logo:
Passo 6
Multiplicando a primeira linha por e a segunda por , e somando-as, podemos rapidamente achar a solução.
Substituindo na primeira:
Logo:
Passo 7
Como a questão pede um exemplo, vamos usar pra atender o pedido:
Passo 8
e)
Acabamos de ver no item anterior que conseguimos descrever o núcleo com apenas uma variável, logo possui dimensão 1, pelo teorema núcleo-imagem:
Resposta
b)
c)
d)
e)