Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
c) Seja o espaço vetorial das matrizes . Se é a transformação linear definida por Onde é uma matriz fixa, então tem posto .
Passo 1
c)
Bom, nessa questão aqui teremos de pensar matrizes não só como TLs, mas como vetores também. é um vetor e uma TL, mas relaxa que no fundo será a mesma coisa que fazemos em .
Vamos começar pensando que nossas matrizes tem uma forma genérica:
Passo 2
Substituindo na transformação teremos:
Podemos separar na seguinte soma:
E agora separando em produto:
Passo 3
Repare que apesar de termos 4 variáveis a princípio, só conseguimos gerar matrizes que são combinações de e . Além disso essas matrizes são LI, logo representam uma base para a imagem, sendo assim concluímos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)