Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
- Se é uma transformação linear, então a imagem de é um espaço vetorial.
Passo 1
b)
A imagem é um subconjunto de que herda suas operações de soma e produto, então para saber se é um espaço vetorial, não precisamos os axiomas dessas operações. Lembrando que imagem são os vetores tal que existe , tal que , ou seja, os vetores do contradomínio que são alcançados pelo domínio. Vamos aos 3 passos de sempre.
Passo 2
Ou seja, , então a imagem contém o vetor nulo.
Passo 3
Seja , ou seja, existe tal que e Temos então:
Ou seja é a imagem de , então a soma está na imagem.
Passo 4
Seja agora , ou seja, existe tal que e :
Ou seja, é a imagem de , então o produto está na imagem.
Como as operações de soma e produto da imagem são herdadas de um espaço vetorial, elas satisfazem os axiomas. Além disso, ela contém o vetor nulo e é fechada para a soma e produto, logo é um espaço vetorial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)